Тригонометрические неравенства 

Тригонометрические неравенства – это неравенства, в которых переменная стоит под знаком синуса, косинуса, тангенса или котангенса. Решаются они через замену переменной, единичную окружность и графики функций.

На первый взгляд тема пугает, так как слишком много формул, слишком много частных случаев. На деле за внешней сложностью скрывается один и тот же алгоритм, который повторяется из задачи в задачу с небольшими вариациями. 

Основные методы решения тригонометрических неравенств

Прежде чем решать конкретные примеры, стоит понять, из чего вообще складывается работа с этой темой. Методов на самом деле немного, и каждый закрывает свою нишу.

Метод единичной окружности. Базовый и самый наглядный способ. На окружности отмечается нужная дуга или точка, после чего остается прочитать, какому промежутку углов она соответствует. Подходит для простейших неравенств вида $\sin x > a$ или $\cos x < a$.

Графический метод. Строятся графики левой и правой части неравенства, визуально определяются точки пересечения и промежутки, где один график лежит выше или ниже другого. Удобен, когда простейшим способом задачу решить сложно, например, при сравнении тригонометрической функции с линейной.

Метод интервалов. Применяется к неравенствам, которые можно разложить на множители. Находятся нули каждого множителя, числовая прямая (или окружность) разбивается на промежутки, на каждом определяется знак выражения.

Замена переменной. Если в неравенстве многократно встречается одна и та же тригонометрическая функция, ее удобно обозначить новой буквой – получается алгебраическое неравенство, которое решается стандартными школьными приемами.

На практике редко используется один метод в чистом виде. Чаще всего замена переменной сводит задачу к алгебраической, а потом результат переносится обратно на окружность – там находится финальный ответ в виде промежутков.

Есть еще один момент, о котором часто забывают в школе: тригонометрическая функция периодична, а значит у неравенства бесконечно много решений. Ответ никогда не сводится к одному промежутку – он всегда содержит добавку вида +2πn или +πn, где n – любое целое число. Без этой добавки ответ формально неверен, даже если сам промежуток найден правильно.

Простейшие тригонометрические неравенства

Простейшими называют неравенства, где под знаком функции стоит просто $x$, без каких-либо преобразований: $\sin x>a$, $\cos x\le a$ и подобные. С них стоит начинать знакомство с темой, потому что остальные типы неравенств рано или поздно сводятся именно к ним.

Возьмем неравенство $\sin x>\frac{1}{2}$. На единичной окружности отмечаем горизонтальную прямую $y=\frac{1}{2}$ – она пересекает окружность в двух точках, соответствующих углам $\frac{\pi }{6}$ и $\frac{5\pi }{6}$. Синус больше $\frac{1}{2}$ на дуге между этими точками, если двигаться против часовой стрелки от $\frac{\pi }{6}$ до $\frac{5\pi }{6}$. Учитывая периодичность синуса, ответ записывается так:

$$x\in (\frac{\pi }{6}+2\pi n;\frac{5\pi }{6}+2\pi n),n\in \mathbb{Z}$$

С косинусом логика похожая, только отсчет углов ведется от вертикальной прямой $x=a$ на окружности, а не от горизонтальной. Для неравенства $\cos x<\frac{\sqrt{2}}{2}$ находим точки $\frac{\pi }{4}$ и $-\frac{\pi }{4}$ (или, что то же самое, $\frac{7\pi }{4}$), после чего смотрим, где косинус принимает значения меньше заданного – это дуга слева от этих точек, если двигаться от $\frac{\pi }{4}$ до $\frac{7\pi }{4}$.

Частая ошибка на этом этапе – перепутать направление дуги или забыть про знак периода $2\pi n$. Проверить себя легко. Достаточно подставить в неравенство любое значение $x$ из полученного промежутка и убедиться, что оно действительно подходит.

Полезно сразу заучить, как выглядят неравенства с нулем и единицей справа, они встречаются почти в каждом варианте. Например, $\sin x>0$ выполняется на верхней полуокружности, то есть $x\in (2\pi n;\pi +2\pi n)$, а $\cos x\ge 0$ – на правой полуокружности, $x\in [-\frac{\pi }{2}+2\pi n;\frac{\pi }{2}+2\pi n]$. Эти два случая стоит держать в памяти как опорные точки – от них легко оттолкнуться, подбирая решение для любого другого значения $a$.

Курс подготовки к ЕГЭ по профильной математике разбирает именно такие базовые алгоритмы, от простейших неравенств до комбинированных заданий второй части.

Решение тригонометрических неравенств с синусом

Неравенства с синусом это самый частый гость в экзаменационных заданиях, поэтому стоит отработать технику решения до автоматизма.

Разберем пример посложнее: $\sin (2x-\frac{\pi }{3})\ge \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Шаг 1. Обозначим $t=2x-\frac{\pi }{3}$. Неравенство принимает простейший вид: $\sin t\ge \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Шаг 2. На окружности находим точки, где синус равен $\frac{\sqrt{3}}{2}$ – это $\frac{\pi }{3}$ и $\frac{2\pi }{3}$. Синус больше либо равен этому значению на дуге между ними.

$$t\in [\frac{\pi }{3}+2\pi n;\frac{2\pi }{3}+2\pi n],n\in \mathbb{Z}$$

Шаг 3. Возвращаемся к исходной переменной, подставляя обратно $t=2x-\frac{\pi }{3}$:

$$\frac{\pi }{3}+2\pi n\le 2x-\frac{\pi }{3}\le \frac{2\pi }{3}+2\pi n$$

Шаг 4. Прибавляем $\frac{\pi }{3}$ ко всем частям неравенства, затем делим на 2:

$$\frac{2\pi }{3}+2\pi n\le 2x\le \pi +2\pi n$$

$$\frac{\pi }{3}+\pi n\le x\le \frac{\pi }{2}+\pi n,n\in \mathbb{Z}$$

Обратите внимание, что при делении на коэффициент перед $x$ меняется и шаг периода: вместо $2\pi$ получаем $\pi$, потому что сам коэффициент при $x$ был равен двум. Это тонкость, которую часто упускают из виду, а она напрямую влияет на правильность ответа.

Еще один тип задач с синусом – это неравенства, где справа стоит не табличное значение, а произвольное число, например $\sin x>\mathrm{0,3}$. В этом случае точные углы через стандартную таблицу не найти, зато на помощь приходит арксинус. Решение записывается так: $x\in (\arcsin \mathrm{0,3}+2\pi n;\pi -\arcsin \mathrm{0,3}+2\pi n),n\in \mathbb{Z}$. Формула выглядит непривычно, но логика та же самая: сначала находим две граничные точки на окружности, затем определяем дугу между ними.

Решение тригонометрических неравенств с косинусом

Логика с косинусом полностью симметрична логике с синусом, различие только в том, какую прямую проводить на окружности: вертикальную вместо горизонтальной.

Пример: $\cos (\frac{x}{2}+\frac{\pi }{4})<0$.

Косинус отрицателен на дуге от $\frac{\pi }{2}$ до $\frac{3\pi }{2}$ (если смотреть в пределах одного полного оборота), поэтому для $t=\frac{x}{2}+\frac{\pi }{4}$ получаем:

$$\frac{\pi }{2}+2\pi n<t<\frac{3\pi }{2}+2\pi n$$

Подставляем обратно и выражаем $x$:

$$\frac{\pi }{2}+2\pi n<\frac{x}{2}+\frac{\pi }{4}<\frac{3\pi }{2}+2\pi n$$

$$\frac{\pi }{4}+2\pi n<\frac{x}{2}<\frac{5\pi }{4}+2\pi n$$

$$\frac{\pi }{2}+4\pi n<x<\frac{5\pi }{2}+4\pi n,n\in \mathbb{Z}$$

Здесь период вырос вдвое ровно потому, что коэффициент перед $x$ был равен не единице, а $\frac{1}{2}$. Общее правило простое: если аргумент функции умножен на $k$, период итогового ответа делится на $k$ (а не умножается, как иногда ошибочно предполагают).

Если справа от знака неравенства стоит нетабличное число, применяется та же логика с арккосинусом: для $\cos x<a$ решение имеет вид $x\in (\arccos a+2\pi n;2\pi -\arccos a+2\pi n),n\in \mathbb{Z}$. Важно помнить, что $\arccos a$ определен только при $a$ из отрезка $[-1;1]$, если число за пределами этого отрезка, неравенство либо верно при всех $x$, либо не имеет решений вовсе, и это стоит проверять отдельно, прежде чем переходить к вычислениям.

Для наглядности полезно держать перед глазами таблицу тригонометрических значений – без нее придется каждый раз заново высчитывать, при каких углах косинус принимает табличные значения.

Решение тригонометрических неравенств с тангенсом и котангенсом

Тангенс и котангенс отличаются от синуса и косинуса графиком, а также поведением на окружности, у них есть точки разрыва, где функция не определена, а период равен не $2\pi$, а $\pi$.

Возьмем неравенство $tgx>\sqrt{3}$. Тангенс равен $\sqrt{3}$ при $x=\frac{\pi }{3}$, а функция возрастает на каждом интервале между соседними точками разрыва. Значит, решение – это промежуток от $\frac{\pi }{3}$ до следующей точки разрыва $\frac{\pi }{2}$ (не включая ее, поскольку в ней тангенс не существует):

$$x\in (\frac{\pi }{3}+\pi n;\frac{\pi }{2}+\pi n),n\in \mathbb{Z}$$

Важный нюанс: граница $\frac{\pi }{2}$ всегда исключается строгой скобкой, какой бы ни была исходная форма неравенства – нестрогая или строгая. Тангенс в этой точке попросту не определен, поэтому включить ее в ответ невозможно ни при каких условиях.

С котангенсом аналогичная история, только функция убывает, а точки разрыва приходятся на $k\pi$ вместо $\frac{\pi }{2}+\pi n$. Для неравенства $ctgx\le 1$ находим $x=\frac{\pi }{4}$ и получаем:

$$x\in [\frac{\pi }{4}+\pi n;\pi +\pi n),n\in \mathbb{Z}$$

Здесь левая граница интервала закрыта, потому что неравенство нестрогое и само значение $x=\frac{\pi }{4}$ подходит, а правая открыта, в точке $\pi +\pi n$ котангенс не определен.

На графике тангенс и котангенс выглядят как семейство одинаковых “волн”, разделенных вертикальными асимптотами – линиями, к которым график приближается, но никогда их не касается. Именно поэтому при записи ответа для этих функций вообще не бывает квадратной скобки на границе, совпадающей с асимптотой, независимо от того, строгое неравенство или нет. Это правило стоит запомнить отдельно от общей логики, оно единственное исключение из принципа “строгое неравенство круглая скобка, нестрогое квадратная”.

Замена переменной в тригонометрических неравенствах

Замена переменной особенно выручает, когда в неравенстве несколько раз повторяется одна и та же функция, иногда в разных степенях. Такое выражение по сути является замаскированным квадратным (или кубическим) неравенством.

Рассмотрим $2{\sin }^{2}x-3\sin x+1\le 0$.

Обозначим $t=\sin x$, учитывая ограничение $-1\le t\le 1$. Получаем квадратное неравенство:

$$2t^2-3t+1\le 0$$

Находим корни через дискриминант: $t_1=\frac{1}{2}$, $t_2=1$. Поскольку парабола направлена ветвями вверх, неравенство выполняется между корнями:

$$\frac{1}{2}\le t\le 1$$

Возвращаемся к синусу: $\frac{1}{2}\le \sin x\le 1$. Это двойное простейшее неравенство, которое решается стандартно через окружность, границы соответствуют углам $\frac{\pi }{6}$ и $\frac{\pi }{2}$ (с учетом второй точки $\frac{5\pi }{6}$, где синус тоже равен $\frac{1}{2}$):

$$x\in [\frac{\pi }{6}+2\pi n;\frac{5\pi }{6}+2\pi n],n\in \mathbb{Z}$$

Главное при замене не забыть про ограничение области значений функции. Для синуса и косинуса это отрезок $[-1;1]$, и если при решении квадратного неравенства получается корень за пределами этого отрезка, его нужно сразу отбросить, подставлять его обратно в тригонометрическое уравнение бессмысленно.

Замена работает и для более сложных сочетаний функций. Например, в неравенстве вида $2{\cos }^{2}x+\sin x-1<0$ сначала нужно избавиться от разных функций через основное тригонометрическое тождество ${\cos }^{2}x=1-{\sin }^{2}x$, и только потом вводить замену $t=\sin x$. После такого преобразования неравенство приобретает вид $-2t^2+t+1<0$, а дальше решается уже привычным способом через дискриминант и знаки параболы.

Двойные тригонометрические неравенства

Двойным называют неравенство, в котором тригонометрическое выражение зажато между двумя числами одновременно: $a<f(x)<b$. По сути это система из двух простых неравенств, но решать ее удобнее не по отдельности, а сразу как единую дугу на окружности.

Пример: $-\frac{1}{2}\le \cos x\le \frac{\sqrt{2}}{2}$.

На окружности находим все четыре граничные точки: для $\cos x=-\frac{1}{2}$ это $\frac{2\pi }{3}$ и $\frac{4\pi }{3}$, для $\cos x=\frac{\sqrt{2}}{2}$ это $\frac{\pi }{4}$ и $\frac{7\pi }{4}$ (то есть $-\frac{\pi }{4}$). Условию удовлетворяют сразу две симметричные дуги – справа и слева от вертикальной оси.

Для правой дуги: $x\in [-\frac{2\pi }{3}+2\pi n;-\frac{\pi }{4}+2\pi n]$
Для левой дуги: $x\in [\frac{\pi }{4}+2\pi n;\frac{2\pi }{3}+2\pi n]$

Объединение этих двух промежутков и будет полным ответом. Двойные неравенства часто пугают именно из-за необходимости удерживать в голове сразу две дуги вместо одной, тут сильно помогает рисунок, даже если он черновой.

Встречаются и двойные неравенства, где средняя часть – это не отдельная функция, а целое выражение с переменной, например $a<\sin 2x+\cos 2x<b$. Такие задачи решаются в два этапа: сначала выражение приводится к одной функции через формулы сложения (в данном случае получится $\sqrt{2}\sin (2x+\frac{\pi }{4})$), а затем применяется уже знакомая схема с заменой переменной и окружностью.

Как эффективно решать тригонометрические неравенства

Сухой алгоритм редко откладывается в памяти сам по себе, поэтому полезно выработать привычный порядок действий, который применяется к любой задаче независимо от ее конкретного вида.

1. рисовать окружность при каждой задаче, даже если кажется, что ответ очевиден. Визуализация экономит время на проверке и сразу показывает, какую дугу брать – внутреннюю или внешнюю, а это именно то место, где чаще всего теряются баллы.
2. использовать замену переменной везде, где функция повторяется больше одного раза. Алгебраическое неравенство решать проще, чем тригонометрическое, а ошибиться в нем сложнее.
3. держать в голове периоды функций: 2π — для синуса и косинуса, π — для тангенса и котангенса. Неправильно определенный период это одна из самых частых причин потери баллов даже при верном ходе решения.
4. практиковаться на разных типах задач регулярно, а не разбирать один тип за раз. Экзаменационные варианты редко повторяют один и тот же шаблон, и насмотренность здесь важнее механического заучивания формул.

В статье о том, как подготовиться к ЕГЭ по математике, разбирается общая стратегия подготовки, с чего начинать и как распределить темы по неделям до экзамена.

Часто задаваемые вопросы

Чем решение тригонометрического неравенства отличается от решения тригонометрического уравнения?

Уравнение дает конечный набор точек это конкретные значения x, при которых выражение обращается в указанное число. Неравенство же описывает целые промежутки (дуги на окружности), на которых функция больше, меньше или не равна заданному значению. Фактически уравнение решается как первый шаг на пути к неравенству: сначала находятся граничные точки, а потом уже определяется, какой из промежутков между ними подходит.

Какие тригонометрические формулы помогают привести сложное неравенство к простейшему?

Чаще всего применяются формулы приведения, формулы двойного угла и основное тригонометрическое тождество sin²x + cos²x = 1. Они позволяют свести выражение с разными функциями или разными аргументами к одной функции от одного аргумента и именно в таком виде неравенство решается через замену переменной или через окружность.

Когда при преобразовании тригонометрического неравенства необходимо менять знак неравенства?

Знак меняется при умножении или делении обеих частей на отрицательное число – это общее алгебраическое правило, которое работает и в тригонометрии. Отдельно стоит быть внимательным при работе с убывающими функциями на отдельных промежутках (например, с косинусом на отрезке [0; π]), там большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции, и это нужно учитывать при сопоставлении промежутков.

Как решать тригонометрические неравенства с параметром?

Сначала неравенство решается в общем виде относительно переменной, параметр на этом этапе воспринимается как обычное число. Затем исследуется, как меняется ответ в зависимости от значений параметра, обычно для этого параметр разбивают на промежутки (например, по знаку или по попаданию в область значений функции) и для каждого промежутка записывают свой вариант ответа. Такие задачи реже встречаются на базовом уровне экзамена, зато часто попадаются во второй части профильного варианта.

Как правильно записать ответ тригонометрического неравенства в виде промежутков?

Ответ записывается как объединение числовых интервалов с явным указанием периода, обычно в форме (a + 2πn; b + 2πn), n ∈ Z для синуса и косинуса или (a + πn; b + πn), n ∈ Z для тангенса и котангенса. Скобки выбираются в зависимости от строгости неравенства: круглая скобка для строгого неравенства, квадратная для нестрогого. Если решение состоит из нескольких дуг, они записываются через объединение (значок ∪) или перечисляются отдельно.