Логарифмические неравенства в ЕГЭ

Логарифмические неравенства – это неравенства, в которых неизвестное стоит под знаком логарифма. Решение держится на ОДЗ и на правильно выбранном методе. Логарифмические неравенства входят в задание 15 профильного ЕГЭ, а оно стоит 2 первичных балла. Если вы занимаетесь на курсе ЕГЭ по профильной математике, эту тему разбирают в блоке неравенств. О структуре экзамена и баллах подробно написано в материале про ЕГЭ по профильной математике 2027.

Почему логарифмические неравенства кажутся сложными

В обычном неравенстве вы переносите слагаемые и делите на число. В логарифмическом приходится помнить про ограничения на аргумент и основание, про смену знака, про то, что логарифм определен не везде. Одно забытое условие, и ответ неверный, хотя вычисления правильны.

Есть пара заблуждений. Первое звучит так, будто ОДЗ можно проверить в конце, если останется время. Время не останется. Второе — что основание всегда больше единицы. На деле в заданиях часто встречаются 0,5 или 0,2, и тогда знак неравенства переворачивается. 

Еще одна сложность в том, что задание 15 редко дается в чистом виде. Чаще в нем смешаны логарифмы с разными основаниями, дробные выражения и квадратные трехчлены под знаком логарифма. Школьник видит громоздкую запись и теряется, хотя после первых двух шагов она распадается на знакомые куски.

Основные методы решения логарифмических неравенств

План у всех методов общий. Записываем ОДЗ, решаем неравенство выбранным способом, пересекаем результат с ОДЗ.

Метод замены переменных

Подходит, если в записи повторяется один и тот же логарифм, скажем, в первой и во второй степени. Его обозначают новой буквой, решают обычное квадратное или рациональное неравенство, потом возвращаются к . Например, в неравенстве после замены получится , то есть . Остается вернуть .

Метод равносильных преобразований

Суть в том, чтобы привести обе части к логарифмам с одним основанием и убрать знак логарифма. При неравенство равносильно условию . При знак меняется на противоположный, получаем . Числа при необходимости записывают как логарифмы, например . Свойства логарифмов применяют осторожно, ведь после сворачивания суммы в логарифм произведения область определения может стать шире исходной.

Метод рационализации

Выручает, когда основание содержит неизвестное. Разбирать случаи по отдельности долго, а рационализация сводит все к одному шагу. Знак выражения l совпадает со знаком произведения на ОДЗ. Дальше работает обычный метод интервалов. Условия и записывают отдельной строкой. Похожую логику вы увидите в статье про логарифмические уравнения на ЕГЭ.

Область допустимых значений (ОДЗ)

ОДЗ – набор значений x, при которых все выражения в записи имеют смысл. Для логарифма нужны три условия, и . Без них решение теряет силу. 

Вот как это выглядит на практике. Для получаем . Для нужно и , то есть при . Для требуется , то есть или . ОДЗ лучше писать первой строкой, до любых преобразований, как делают на проверке эксперты.

Примеры решений логарифмических неравенств

1. Одно логарифмическое неравенство

Решим .

ОДЗ задается условием , то есть . Основание меньше единицы, поэтому знак неравенства при снятии логарифма меняется. Число записываем как логарифм по основанию от , ведь в степени равно . Получаем , откуда . С учетом ОДЗ ответ .

2. Два логарифма с одинаковыми основаниями

Решим .

ОДЗ требует и , то есть . Основание больше единицы, знак сохраняем. Имеем , значит и . Пересекаем с ОДЗ и получаем ответ .

3. Сложное логарифмическое неравенство

Решим .

ОДЗ здесь . На этом множестве , и неравенство принимает вид . Замена дает , то есть , откуда или . Возвращаемся к . Из следует , из следует . Ответ: .

Типичные ошибки при решении логарифмических неравенств

Самая дорогая ошибка – пропущенная или неполная ОДЗ. Ученик решает , получает и пишет это в ответ, забыв про . Эксперт поставит не больше одного балла.

Вторая – основание меньше единицы. Ученик оставляет знак прежним, и вместо появляется . Помогает привычка подчеркивать основание перед снятием логарифма.

Третья ошибка касается свойств. Равенство верно лишь при , иначе нужен модуль. Еще встречается путаница между строгим и нестрогим знаком на границах и забытое условие при рационализации.

Четвертая ловушка прячется в арифметике. При переносе слагаемых через знак неравенства теряется минус, а при умножении на отрицательное число знак забывают развернуть. 

Успешное решение логарифмических неравенств на ЕГЭ

Итак, надежная схема выглядит просто: ОДЗ, метод, пересечение, проверка границ. Дальше помогает практика. Решайте по две-три задачи в день, а ошибки записывайте в отдельную тетрадь и перечитывайте перед пробниками. Общий план подготовки собран в статье о том, как подготовиться к ЕГЭ по математике. Берите все доступные ресурсы, от разборов на курсе до открытого банка заданий ФИПИ.

Часто задаваемые вопросы