Логарифмические уравнения для ЕГЭ
Если есть проблемы с математикой, то загляните на курс ЕГЭ по профильной математике, там логарифмам отведено много занятий с практикой. А пока пойдем по порядку: от базы к задачам второй части. В ЕГЭ по профильной математике 2027 эта тема встречается в нескольких заданиях, так что пропускать ее нельзя.
Что нужно знать перед решением
Определение логарифма и основное тождество
Логарифм числа b по основанию a – степень, в которую нужно возвести a, чтобы получить b. Запись {\log }_{a}b=c означает {a}^{c}=b. Основание a положительно и не равно единице, а число под логарифмом строго больше нуля. Эти условия позже превратятся в ОДЗ.
Из определения следует основное логарифмическое тождество {a}^{{\log }_{a}b}=b. Добавьте к нему равенства {\log }_{a}1=0 и {\log }_{a}a=1. Для примера, {\log }_{2}8=3, потому что {2}^{3}=8, а {\log }_{5}\frac{1}{25}=−2, потому что {5}^{−2}=\frac{1}{25}.
Десятичный (lg) и натуральный (ln) логарифмы
Десятичный логарифм имеет основание 10 и пишется lgb. Натуральный берет основанием число e≈2,718 и пишется \ln b. На экзамене чаще попадается десятичный, например lg1000=3. Правила у всех логарифмов одинаковые, меняется лишь основание.
Свойства логарифмов
Ниже формулы, которые стоит знать наизусть. Работают они при положительных аргументах и допустимых основаниях.
| Свойство | Формула |
|---|---|
| Логарифм произведения | {\log }_{a}(xy)={\log }_{a}x+{\log }_{a}y |
| Логарифм частного | {\log }_{a}\frac{x}{y}={\log }_{a}x−{\log }_{a}y |
| Логарифм степени | {\log }_{a}{x}^{k}=k{\log }_{a}x |
| Переход к новому основанию | {\log }_{a}b=\frac{{\log }_{c}b}{{\log }_{c}a} |
| Переворот логарифма | {\log }_{a}b=\frac{1}{{\log }_{b}a} |
Со степенью связана ловушка. Для четного показателя верна запись {\log }_{a}{x}^{2}=2{\log }_{a}|x|. Потеряете модуль – потеряете корень.
Область допустимых значений (ОДЗ)
ОДЗ – это все значения x, при которых уравнение вообще имеет смысл. Для {\log }_{a}f(x) нужно f(x)>0. Если x стоит в основании, добавляется требование, чтобы основание было положительным и не равнялось единице.
Найдем ОДЗ для выражения {\log }_{3}(x−2)+{\log }_{3}(7−x). Нужно x−2>0 и 7−x>0, то есть 2<x<7. Любой корень за пределами этого промежутка отбрасываем сразу. Для {\log }_{x}5 условия другие, x>0 и x≠1. Если в уравнении несколько логарифмов, ОДЗ собирается из всех условий сразу, как пересечение промежутков.
Логарифмические уравнения
Простейшие уравнения
Простейшее уравнение выглядит как {\log }_{a}f(x)=c. Решается в один шаг, переходим к степени и получаем f(x)={a}^{c}. Потом сверяемся с ОДЗ.
Возьмем {\log }_{3}(2x−1)=2. ОДЗ даст 2x−1>0, значит x>0,5. Дальше 2x−1={3}^{2}=9, откуда x=5. Корень в ОДЗ входит, ответ 5.
Уравнение вида {\log }_{a}F(x)={\log }_{a}P(x)
Когда основания совпадают, знаки логарифма можно убрать и остается F(x)=P(x). Оба выражения должны быть положительными, но раз они равны, достаточно проверить любое одно, какое проще.
Решим {\log }_{2}({x}^{2}−5)={\log }_{2}(4x). Приравниваем, {x}^{2}−5=4x, и получаем {x}^{2}−4x−5=0 с корнями x=5 и x=−1. Проверяем по условию 4x>0. Пятерка подходит, а −1 отпадает. Ответ 5.
Сложные уравнения
Здесь одним переходом не обойтись. Сначала сводим логарифмы к общему основанию через формулу перехода. Сумму или разность логарифмов объединяем в один логарифм. Если какое-то выражение повторяется, вводим замену, и тогда все становится квадратным уравнением.
Пример {{\log }_{2}}^{2}x−3{\log }_{2}x+2=0. ОДЗ здесь x>0. Пусть t={\log }_{2}x, тогда {t}^{2}−3t+2=0 и t=1 либо t=2. Возвращаемся к x и получаем x=2 или x=4. Оба числа больше нуля. Ответ 2 и 4.
Есть и другой прием. Уравнение {\log }_{3}({x}^{2}−8x)=2 решается через степень, {x}^{2}−8x=9. Дальше выходит {x}^{2}−8x−9=0, корни x=9 и x=−1. Подставляем в {x}^{2}−8x и видим, что обе проверки дают девять, то есть положительное число. Значит, подходят оба корня. Здесь ОДЗ проверяется подстановкой, и такой способ часто быстрее, чем решать неравенство.
Логарифмические неравенства
Схема остается прежней, но появляется одно правило. Основание больше единицы – знак неравенства сохраняется. Основание между нулем и единицей – знак меняется на противоположный.
Решим {\log }_{2}(x−1)<3. Основание 2 больше единицы, поэтому 0<x−1<{2}^{3}, то есть 1<x<9. А вот для основания 0,5 неравенство {\log }_{0,5}x>1 дает 0<x<0,5, знак перевернулся.
Похожая логика работает в теме показательных неравенств на ЕГЭ, там все тоже решает основание степени.
Разбор задач ЕГЭ
1 – первая часть, базовый
Решите уравнение {\log }_{3}(x+5)={\log }_{3}(2x−1)+1.
Единицу запишем как {\log }_{3}3, тогда правая часть превращается в {\log }_{3}(3(2x−1)). Приравниваем аргументы, x+5=6x−3, откуда 5x=8 и x=1,6. ОДЗ требует x>0,5, корень подходит. Ответ: 1,6.
2 – вторая часть, средний
Решите уравнение {\log }_{5}(x+3)+{\log }_{5}(x−1)=1.
ОДЗ задают два неравенства, x>−3 и x>1, значит x>1. Складываем логарифмы, получаем {\log }_{5}((x+3)(x−1))=1, то есть (x+3)(x−1)=5. После раскрытия скобок выходит {x}^{2}+2x−8=0 с корнями x=2 и x=−4. Второй корень ОДЗ не проходит. Ответ: 2.
Тут хорошо видно, зачем нужна проверка. Произведение под логарифмом допускает два отрицательных множителя, а исходная сумма логарифмов нет.
3 – вторая часть, сложный
Решите уравнение {\log }_{x}2+{\log }_{2}x=2,5.
ОДЗ x>0 и x≠1. По формуле переворота {\log }_{x}2=\frac{1}{{\log }_{2}x}. Пусть t={\log }_{2}x, причем t≠0, ведь x≠1. Тогда \frac{1}{t}+t=\frac{5}{2}. Умножаем обе части на 2t и получаем 2{t}^{2}−5t+2=0. Дискриминант равен 9, корни t=2 и t=\frac{1}{2}. Значит, x=4 или x=\sqrt{2}. Оба числа положительны и не равны единице. Ответ: 4 и \sqrt{2}.
Логарифмические уравнения держатся на свойствах логарифмов и аккуратной проверке ОДЗ. Без проверки даже верное решение дает неверный ответ. Тренируйтесь на типовых задачах. Начните с простейших уравнений, потом переходите к заданиям второй части. Если план занятий еще не выстроен, посмотрите материал о том, как подготовиться к ЕГЭ по математике.
Часто задаваемые вопросы
Как найти область допустимых значений логарифмического уравнения?
Выпишите условия для каждого логарифма. Выражение под знаком должно быть больше нуля, а переменное основание должно быть положительным и отличаться от единицы. Затем решите систему этих неравенств, ее решение и есть ОДЗ.
Как проверить правильность решения логарифмического уравнения?
Подставьте каждый корень в исходное уравнение либо сверьте его с ОДЗ. Второй способ быстрее. Корень вне ОДЗ посторонний, его вычеркиваем без раздумий.
Какие типичные ошибки возникают при решении логарифмических уравнений?
Чаще всего забывают про ОДЗ. Дальше по частоте идут потерянный модуль при четной степени, неверный знак в неравенстве с основанием меньше единицы и ошибки в арифметике при раскрытии скобок. Еще бывает, что выносят показатель степени из-под логарифма без проверки знака аргумента.
В каких случаях логарифмическое уравнение не имеет решений еще до выполнения вычислений?
Когда ОДЗ пустая. Например, одно условие требует x>3, а другое x<1. Бывает и так, что выражение под логарифмом отрицательно при любом x, как в 2(-x2-1). Тогда считать дальше смысла нет.
