Таблица производных для ЕГЭ по профильной математике
Таблица производных нужна, чтобы быстро находить производные элементарных функций и не терять на этом время на экзамене. Если вы сдаете ЕГЭ по профильной математике 2027, этот материал поможет вам лучше разобраться.
Если хотите подготовиться к математике на высокий балл, вам подойдет курс подготовки к ЕГЭ по профильной математике, а пока разберем сами производные, правила и типичные промахи.
Что такое производная и зачем она нужна?
Производная показывает, как быстро меняется функция. Формально это предел отношения приращения функции к приращению аргумента.
На практике предел почти никогда не считают, берут готовый результат из таблицы. Зато смысл производной знать нужно, в условиях задач он встречается постоянно. Геометрический смысл такой: значение производной в точке равно тангенсу угла наклона касательной к графику в этой точке. Физический смысл другой: производная пути по времени дает скорость, а производная скорости дает ускорение.
Пример. Для функции f(x)={x}^{2} производная равна {f}^{′}(x)=2x, значит в точке x=3 угловой коэффициент касательной равен 6. Если путь задан формулой s(t)={t}^{2}, то скорость в момент t=3 тоже равна 6, то есть 6 м/с при времени в секундах и пути в метрах.
Производная помогает исследовать функцию. Если {f}^{′}(x)>0 на промежутке, функция возрастает, если {f}^{′}(x)<0, убывает. Точки, где производная равна нулю и меняет знак, дают экстремумы. Отсюда и ее место на экзамене. В первой части по графику производной определяют промежутки возрастания или число точек экстремума, во второй части ищут наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке.
Работа с графиком производной строится на одной идее. Если график лежит выше оси Ox, исходная функция растет, если ниже, убывает. Точка, где график пересекает ось сверху вниз, дает максимум, а снизу вверх – минимум. Саму исходную функцию при этом знать не нужно, достаточно знака производной.
Задачи по этой теме подробно собраны в материале «Производная для ЕГЭ по профилю».
Основные функции и их производные
Таблицу удобно учить по группам. Начнем с самых простых функций.
Константа и степенная функция
Производная числа равна нулю, ведь число не меняется. Производная переменной x равна единице. Для степени работает главное правило, показатель выходит вперед множителем, а сам уменьшается на единицу.
| Функция | Производная |
|---|---|
| C (число) | 0 |
| x | 1 |
| {x}^{n} | n·{x}^{n−1} |
| \sqrt{x} | \frac{1}{2\sqrt{x}} |
| \frac{1}{x} | −\frac{1}{{x}^{2}} |
Корень и дробь с x в знаменателе удобно сводить к степени. Так \sqrt{x}={x}^{\frac{1}{2}}, а \frac{1}{x}={x}^{−1}, и отдельные строки для них можно не помнить, хватит правила для {x}^{n}. Если привычнее готовые строки, запомните и их, на экзамене они экономят время.
Примеры. ({x}^{5})′=5{x}^{4}. (3{x}^{4})′=3·4{x}^{3}=12{x}^{3}. ({x}^{−2})′=−2{x}^{−3}. (7)′=0. Постоянный множитель при дифференцировании остается на месте, это видно во втором примере. Сумма степеней тоже берется по слагаемым, ({x}^{3}+2x)′=3{x}^{2}+2.
Показательная и логарифмическая функция
Показательная функция {e}^{x} обладает редким свойством, ее производная совпадает с ней самой. Для других оснований появляется множитель \ln \,a, то есть натуральный логарифм основания. У логарифма производная устроена так, что x уходит в знаменатель.
| Функция | Производная |
|---|---|
| {e}^{x} | {e}^{x} |
| {a}^{x} | {a}^{x}·\ln \,a |
| \ln \,x | \frac{1}{x} |
| {\log }_{a}\,x | \frac{1}{x·\ln \,a} |
Число e примерно равно 2,718, а \ln \,x это логарифм по основанию e. Область определения стоит держать в голове. Функция \ln \,x существует только при x>0, и ее производная \frac{1}{x} рассматривается тоже на этом промежутке.
Если в показателе стоит не просто x, а, скажем, 2x, срабатывает правило сложной функции, о нем речь пойдет ниже.
Примеры. ({2}^{x})′={2}^{x}·\ln \,2. (5{e}^{x})′=5{e}^{x}. (3\ln \,x)′=\frac{3}{x}. ({10}^{x})′={10}^{x}·\ln \,10. ({\log }_{2}\,x)′=\frac{1}{x·\ln \,2}. Значение производной \ln \,x в точке x=4 равно \frac{1}{4}.
Тригонометрические функции
Здесь легко запомнить пару \sin и \cos. Синус переходит в косинус без изменений, косинус переходит в минус синус. У функций с приставкой «ко» (косинус, котангенс) производные идут со знаком минус, это хороший ориентир.
| Функция | Производная |
|---|---|
| \sin \,x | \cos \,x |
| \cos \,x | −\sin \,x |
| \tg \,x | \frac{1}{{\cos }^{2}\,x} |
| \ctg \,x | −\frac{1}{{\sin }^{2}\,x} |
Примеры. Значение (\sin \,x)′ в точке x=\frac{π}{6} равно \cos \,(\frac{π}{6})=\frac{\sqrt{3}}{2}. Далее (2\cos \,x)′=−2\sin \,x. Для тангенса в точке x=\frac{π}{4} получаем \frac{1}{{\cos }^{2}\,(\frac{π}{4})}=\frac{1}{\frac{1}{2}}=2. Тригонометрические тождества полезны, когда выражение сначала нужно упростить, а уже после этого дифференцировать.
Как использовать таблицу производных?
1 – Определите тип функции
Посмотрите, что стоит в выражении и в каком месте. Степенная функция имеет вид {x}^{n}, переменная – в основании, число – в показателе. Показательная устроена наоборот: число – в основании, переменная – в показателе, например {3}^{x}. Логарифмы и тригонометрия узнаются по знакам \ln, \log, \sin, \cos, \tg. Если функция составлена из нескольких частей, разбейте ее на слагаемые и определите тип каждого.
Чаще всего путают {x}^{3} и {3}^{x}. Внешне похоже, а производные разные, 3{x}^{2} в первом случае и {3}^{x}·\ln \,3 – во втором. Определили тип, и ошибка исчезает.
2 – Найдите соответствующую строку в таблице
Если таблица выучена по группам, нужная строка находится за секунду. Мысленно спросите себя, к какой из трех групп относится слагаемое, затем вспомните формулу этой группы. Постоянный множитель выносится за знак производной, слагаемые дифференцируются по отдельности.
Если слагаемое не похоже ни на одну строку, попробуйте его преобразовать. Дробь \frac{5}{{x}^{2}} превращается в 5{x}^{−2}, а корень x3 в {x}^{\frac{1}{3}}, и тогда подходит правило для степени. Так, {(\frac{5}{{x}^{2}})}^{′}=(5{x}^{−2})′=−10{x}^{−3}. Это экономит время и снижает риск ошибки.
Пример. Для функции 4\ln \,x нужна строка (\ln \,x)′=\frac{1}{x}. Множитель 4 остается на месте, получаем \frac{4}{x}. Для функции 6{x}^{2}−5 нужны две строки, для степени и для константы, итог 12x.
3 – Подставьте свои значения
Когда формула найдена, подставьте в нее конкретные числа. В заданиях ЕГЭ чаще всего просят значение производной в точке.
Пример 1. Найдите значение производной функции f(x)={x}^{4}−3{x}^{2}+5 в точке {x}_{0}=2. Находим {f}^{′}(x)=4{x}^{3}−6x. Подставляем {x}_{0}=2 и получаем 4·8−6·2=32−12=20. Ответ 20.
Пример 2. Для функции f(x)=2\sin \,x+3{e}^{x} имеем {f}^{′}(x)=2\cos \,x+3{e}^{x}. В точке {x}_{0}=0 значение равно 2·1+3·1=5. Ответ 5.
Пример 3. Дана функция g(x)={x}^{3}−6x. Тогда {g}^{′}(x)=3{x}^{2}−6, а в точке {x}_{0}=−2 значение равно 3·4−6=6. Ответ 6.
Пример 4. Найдите наибольшее значение функции y={x}^{3}−3x на отрезке [−2;\text{ }0]. Находим {y}^{′}=3{x}^{2}−3 и приравниваем к нулю, получаем x=−1 или x=1. Отрезку принадлежит только x=−1. Считаем значения в нужных точках, y(−2)=−8+6=−2, y(−1)=−1+3=2, y(0)=0. Наибольшее из них равно 2. Ответ 2.
Пример 5. К графику функции y={x}^{2}−4x+3 проведена касательная в точке с абсциссой {x}_{0}=3. Найдите ее угловой коэффициент. Он равен значению производной в этой точке. Так как {y}^{′}=2x−4, получаем {y}^{′}(3)=6−4=2. Ответ 2.
Общие правила дифференцирования
Таблица дает производные отдельных функций. Чтобы работать с их комбинациями, нужны правила, и их немного.
Первые два правила самые простые. Постоянный множитель выносится, сумма и разность дифференцируются по слагаемым. Правила произведения и частного запоминаются труднее, их сразу стоит тренировать на примерах. Последнее правило относится к сложной функции. Сначала берется производная внешней функции, затем результат умножается на производную внутренней.
Произведение. ({x}^{2}·\sin \,x)′=2x·\sin \,x+{x}^{2}·\cos \,x.
Частное. {(\frac{x}{x+1})}^{′}=\frac{1·(x+1)−x·1}{(x+1{)}^{2}}=\frac{1}{(x+1{)}^{2}}.
Сложная функция. (\sin \,3x)′=3\cos \,3x. ((2x+1{)}^{5})′=5(2x+1{)}^{4}·2=10(2x+1{)}^{4}. ({e}^{2x})′=2{e}^{2x}. (\ln ({x}^{2}+1))′=\frac{2x}{{x}^{2}+1}.
Правила и таблица обычно работают вместе. Например, (x·\ln \,x)′=1·\ln \,x+x·\frac{1}{x}=\ln \,x+1. Строка для \ln \,x взята из таблицы, а схема разбора из правила произведения.
Частые ошибки при дифференцировании
Первая ошибка связана с произведением. Ученики берут производные обоих множителей и перемножают их. Проверим на примере ({x}^{2}·{x}^{3})′. Неверное решение дает 2x·3{x}^{2}=6{x}^{3}. Но {x}^{2}·{x}^{3}={x}^{5}, а ({x}^{5})′=5{x}^{4}. Значит, нужно было применять правило {f}^{′}·g+f·{g}^{′}, оно дает 2x·{x}^{3}+{x}^{2}·3{x}^{2}=5{x}^{4}.
Вторая ошибка – потерянный знак у косинуса. В записи (\cos \,x)′=\sin \,x минус пропал, а верно (\cos \,x)′=−\sin \,x. Помогает привычка при дифференцировании любой функции с «ко» в названии ставить минус сразу.
Третья – показательную функцию дифференцируют как степенную. Запись ({2}^{x})′=x·{2}^{x−1} неверна, правильный ответ {2}^{x}·\ln \,2. Сверяйтесь с первым шагом алгоритма, он для того и нужен.
Четвертая – забытая производная внутренней функции. Запись (\sin \,3x)′=\cos \,3x неверна, правильно 3\cos \,3x. Проверка простая, если вместо x под знаком функции стоит что-то сложнее, умножайте результат на производную этого выражения.
Пятая группа промахов касается констант. (x+5)′=1, а не 6, и (5)′=0. В слагаемом 7x производная равна 7, а не 7x.
Шестая – арифметика с отрицательными степенями. ({x}^{−2})′=−2{x}^{−3}, показатель уменьшается на единицу, то есть −2−1=−3. Многие пишут −2{x}^{−1} и получают неверный ответ.
В формуле частного нередко путают порядок в числителе. Он такой, {f}^{′}·g−f·{g}^{′}, и менять его местами нельзя, иначе знак ответа станет противоположным.
Совет. Нашли производную, подставьте в нее простое число и проверьте себя. Например, для f(x)={x}^{3} при x=1 производная должна быть равна 3.
Таблицу производных нужно знать наизусть, а правила дифференцирования применять без раздумий. Учите по группам, проверяйте себя на примерах. Решайте задачи двух видов, на значение производной в точке и на наибольшее или наименьшее значение функции, именно на них таблица работает чаще всего. Общий план подготовки разобран в статье «Как подготовиться к ЕГЭ по математике».
Часто задаваемые вопросы
Как быстро выучить таблицу производных?
Разделите ее на три группы: степенные функции, показательные с логарифмами и тригонометрические. На каждую группу решите по пять примеров, а потом запишите формулы по памяти без подсказки. Обычно хватает трех-четырех дней, если заниматься по 30 минут. Не пытайтесь выучить все за один вечер, повторение через день закрепляет формулы лучше, чем долгая зубрежка. Для повторения подойдут карточки, где на одной стороне функция, а на другой ее производная.
Входит ли таблица производных в справочные материалы ЕГЭ?
Рассчитывать на это не стоит, формулы лучше помнить самому. Точный перечень материалов, допущенных на экзамен в нужный год, указан в спецификации и демоверсии на сайте ФИПИ, сверьтесь с ним перед экзаменом.
Чем отличается производная от дифференциала?
Производная — это число или функция, она показывает скорость изменения. Дифференциал dy = f'(x) · dx показывает, на сколько изменится функция при малом изменении аргумента dx. Проще говоря, производная отвечает на вопрос, насколько быстро растет функция, а дифференциал говорит, на сколько она вырастет за небольшой шаг. На ЕГЭ дифференциал не нужен.
Как найти производную функции, заданной параметрически?
Пусть x=x(t) и y=y(t). Тогда
при условии что \frac{dx}{dt}≠0.
Например, для x={t}^{2} и y={t}^{3} получаем \frac{dy}{dt}=3{t}^{2}, \frac{dx}{dt}=2t, значит
Такие задания обычно не входят в профильный ЕГЭ, это тема университетского курса.
