Теория вероятностей ЕГЭ

Теория вероятностей – раздел математики о закономерностях случайных событий. 

Основные понятия теории вероятностей

Определение вероятности события

Случайное событие в опыте может произойти, а может не произойти: выпал орел, достали красный шар, попался легкий билет. Вероятность показывает, насколько ожидаем такой исход. Считают ее по классической схеме – число благоприятных исходов m делят на число всех равновозможных исходов .

Значение всегда лежит между 0 и 1. Ноль означает невозможное событие, единица – достоверное. В ответе на экзамене обычно стоит конечная десятичная дробь вроде 0,35.

Возьмем игральный кубик. Четных граней три , всего граней шесть, значит .

Другой пример. В коробке ручек, три из них не пишут, а исправную мы достаем с вероятностью .

Раздел входит в первую часть экзамена, проверяют его отдельными заданиями 4 и 5 в рамках ЕГЭ по профильной математике 2027.

Противоположное событие

Событие, которое наступает ровно тогда, когда не наступает, называют противоположным. Обозначают его . Вероятности таких событий в сумме дают единицу.

Прием выручает там, где прямой подсчет громоздок. Батарейка оказывается бракованной с вероятностью , значит исправной она будет с вероятностью . В задачах на «хотя бы один» этот ход почти всегда быстрее. Проще найти шанс, что не случилось ни одного нужного исхода, а затем вычесть его из единицы.

Независимые и зависимые события

События независимы, если исход одного не меняет вероятность другого. Зависимые события связаны друг с другом. В мешке лежат три красных шара, синих два. Достали красный, назад не положили. Шаров осталось четыре, красных среди них два, так что шанс снова вытащить красный упал с до . Первым делом смотрите, возвращают ли объект обратно. От этого зависит весь дальнейший расчет.

Основные формулы теории вероятностей

Формула сложения вероятностей

Несовместные события не могут случиться одновременно. Вероятность того, что произойдет хотя бы одно из них, равна сумме вероятностей.

На экзамене билет по алгебре достается с вероятностью , по геометрии с вероятностью . Один билет не относится к двум разделам сразу, значит шанс получить алгебру либо геометрию равен .

Когда события могут случиться вместе, пересечение приходится вычитать. Иначе оно окажется учтенным дважды.

Формула умножения вероятностей

Для независимых событий вероятность того, что наступят оба, равна произведению вероятностей.

Представьте кофейню с двумя кофемашинами. К вечеру зерно в первой заканчивается с вероятностью , во второй с вероятностью , работают они независимо. В обеих сразу зерно закончится с вероятностью . Хотя бы в одной – . Тот же результат даст путь через противоположное событие, , а это отличный способ проверить себя.

Остальные формулы для ЕГЭ по математике собраны в шпаргалке к тестовым заданиям, ее полезно распечатать.

Условная вероятность

Условной называют вероятность события при условии, что событие уже произошло. Записывают , считают как отношение вероятности пересечения к вероятности условия.

Кубик подбросили, известно, что выпало четное число. Какова вероятность шестерки? Четное выпадает с вероятностью , пересечение (сама шестерка) – с вероятностью . Делим, получаем . Условие сузило набор исходов до трех, шестерка среди них одна. Из той же формулы вытекает умножение для зависимых событий, , как в истории с шарами.

Решение задач по теории вероятностей

Типовые задачи

Почти все задачи профильного экзамена сводятся к трем-четырем схемам. Вот две самые частые.

Задача 1. В турнире выступают гимнасток, из России, из Франции, остальные из Италии. Порядок выступлений определяет жеребьевка. Найдите вероятность того, что первой выступит гимнастка из Италии.

Итальянок . Все исходы равновозможны, значит . Ответ: .

Задача 2. Биатлонист стреляет пять раз, при каждом выстреле он попадает с вероятностью . Найдите вероятность того, что первые три раза он попадет, а два последних промахнется. Результат округлите до сотых.

Выстрелы независимы, вероятность промаха . Перемножаем . Округляем до сотых. Ответ: .

Порядок попаданий в условии зафиксирован. Если бы речь шла о любых трех попаданиях из пяти, результат пришлось бы умножить на число способов выбрать эти выстрелы, а это уже формула Бернулли.

Пошаговый разбор решений

Универсальный порядок действий выглядит так.

1. Выпишите события из условия с их вероятностями.

2. Определите связь между событиями. Слово «либо» зовет к сложению, слово «одновременно» к умножению.

3. Если события зависимы, пересчитайте вероятность с учетом уже случившегося.

4. Считайте без промежуточных округлений.

5. Сверьтесь с условием. Ответ обязан лежать от 0 до 1, причем с нужной точностью.

Задача 3. Две фабрики выпускают одинаковые стекла для автомобильных фар. Первая дает 40% продукции, вторая остальные 60%. Брак у первой фабрики составляет 3%, у второй 1%. С какой вероятностью случайно купленное стекло окажется бракованным?

Шаг 1. Вводим гипотезы. Стекло с первой фабрики, вероятность 0,4. Стекло со второй, вероятность 0,6.

Шаг 2. Событие «брак» при первой гипотезе имеет вероятность 0,03, при второй 0,01.

Шаг 3. Брак приходит либо с одной фабрики, либо с другой, а такие варианты несовместны. Каждый путь перемножаем, затем складываем.

Ответ: . Это формула полной вероятности. Название звучит строго, суть проще некуда, взвешенная сумма по веткам дерева. Запутались – нарисуйте само дерево. Из корня выходят две ветки к фабрикам, из каждой еще по две к браку и норме, а на концах стоят произведения вероятностей вдоль пути.

Частые ошибки и ловушки

Самая популярная – это путаница между сложением и умножением. Вероятности независимых событий складывают там, где их надо перемножать, получая ответ больше единицы. Увидели число выше 1, значит где-то ошибка, перепроверяйте сразу.

Вторая ловушка касается совместных событий. Ученик складывает вероятности, забыв вычесть пересечение, а результат завышается. Третья ловушка – выбор без возвращения. Знаменатель при втором вытаскивании уменьшается, а многие этого не замечают.

Отдельно стоит неравновозможность исходов. Сумма очков на двух кубиках принимает значений, но равновозможными они не являются. Считайте пары чисел, их всего . Сумма даст пять пар , то есть .

Остается округление. Промежуточные результаты не трогайте, обрезайте только итог, строго по условию. В бланк вписывают десятичную дробь, проценты там не нужны. Обидно терять баллы на простом. Тема не такая коварная, как логарифмические неравенства ЕГЭ, но подводит так же часто, обычно из-за спешки.

Без теории вероятностей на хороший балл по профилю рассчитывать трудно. Два задания первой части выглядят скромно, а приносят баллы почти без громоздких вычислений. Классическая формула, противоположные события, сложение с умножением закрывают большинство прототипов.

Решайте несколько задач в неделю, сразу проверяя ответ на допустимые значения, а формулы повторяйте постоянно. 

Начните сегодня. Системно разобраться в теме поможет курс ЕГЭ по математике, а как добавить вероятность в общий график, подскажет материал о подготовке к профильной математике.

Часто задаваемые вопросы