Производная в ЕГЭ по профильной математике

Производная показывает, как быстро меняется функция в конкретной точке. С ее помощью находят промежутки возрастания и убывания, точки максимума и минимума, наибольшие и наименьшие значения. Для экзамена достаточно уверенно знать таблицу производных, четыре правила вычисления и связь знака производной с поведением графика.

Производная пугает многих выпускников. Прочитать график, вычислить значение в точке, найти экстремум или наименьшее значение на отрезке. Приемы одни, освоить их реально за пару недель.

Если вы только выстраиваете подготовку, загляните на курс подготовки к ЕГЭ по математике профиль. 

Основные правила дифференцирования

Производная функции в точке – это предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение стремится к нулю. Звучит строго, но считать пределы руками никто не заставляет. На практике пользуются готовыми формулами. Записывают производную как или .

Производная константы равна нулю, у переменной x она равна единице. Для степени работает формула , так что корни и дроби удобно сначала переписать в виде степени. Например, превращается в , а – в . 

Читайте больше о степенях и их свойствах. 

Для составных выражений нужны четыре правила.

• Производная суммы равна сумме производных, . Числовой множитель выносят за знак производной.

• Произведение дифференцируют так, .

• Для частного формула такая, .

• Сложную функцию берут по цепному правилу, . Сначала производная внешней функции, затем множитель в виде производной внутренней.

Для быстрого доступа держите под рукой таблицу.

Зубрить таблицу ради самой таблицы не нужно. Два-три десятка решенных примеров, и формулы запомнятся сами. Хуже всего запоминается производная частного, при сомнениях перепишите дробь как произведение со степенью –1.

Геометрический смысл производной

Производная в точке равна угловому коэффициенту касательной к графику в этой точке. Иначе говоря, , где – угол наклона касательной к оси . Касательная идет вверх, и производная положительная. Касательная идет вниз, и производная отрицательная. Горизонтальная касательная означает ноль.

Отсюда вытекает правило, на котором держится почти вся графическая часть экзамена. Там, где функция возрастает, . Там, где убывает, . Точки, в которых производная меняет знак, и есть точки экстремума. Смена с плюса на минус дает максимум, смена с минуса на плюс – минимум. Если знак не меняется, экстремума нет, даже когда производная в этой точке равна нулю.

Физический смысл производной

Пусть – путь, который прошло тело за время . Тогда производная показывает мгновенную скорость в момент t. Если взять производную еще раз, получится ускорение. Скорость – это первая производная координаты, ускорение – вторая.

В задании это выглядит так. Материальная точка движется прямолинейно по закону , где – расстояние от точки отсчета в метрах, – время в секундах. Найдите скорость точки в момент . Берем производную, , и подставляем время. Получаем . Скорость равна .

Примеры заданий ЕГЭ на производную

Разберем три типовые задачи, от самой простой к самой объемной.

Задача 1. На рисунке изображен график функции и касательная к нему в точке с абсциссой x₀. Касательная проходит через точки и . Найдите .

Производная в точке касания равна угловому коэффициенту касательной. Считаем . Ответ: . Минус здесь логичен, ведь касательная спускается слева направо.

Задача 2. На рисунке изображен график на интервале . График пересекает ось Ox в точках и . В точках и он переходит из верхней полуплоскости в нижнюю, в точках и – из нижней в верхнюю. Сколько точек максимума у функции ?

Максимум там, где производная меняется с плюса на минус. Это точки и . Ответ: . Точки и дают минимумы, их считать не нужно.

Задача 3. Найдите наименьшее значение функции на отрезке .

Находим производную, . Приравниваем к нулю, , откуда или . Точка лежит вне отрезка, так что выбрасываем ее. Остается . Теперь вычисляем значения в этой точке и на концах отрезка.


.
Наименьшее из них равно , это и есть ответ.

Ошибки в таких заданиях обычно одни и те же. Школьники забывают проверить, попала ли найденная точка в отрезок, путают график функции с графиком производной, пропускают концы отрезка (а наименьшее значение вполне может оказаться именно там) или теряют минус при дифференцировании. Проверить себя:

• Что нарисовано на графике, функция или производная.

• Входит ли найденная точка в заданный отрезок.

• Подставлены ли в функцию концы отрезка.

• Не потерялся ли знак при вычислении.

Успешная подготовка к решению заданий ЕГЭ с производной

Тема производной не требует особого таланта. Хватает заученных формул, понимания смысла и десятков решенных задач. Этот раздел приносит баллы сразу в нескольких заданиях варианта.

Идите по порядку. Сначала правила и таблица, потом графики, затем экстремумы на отрезке. Чтобы увидеть всю картину экзамена, прочитайте материал про ЕГЭ по профильной математике 2027. Если нужен общий план на несколько месяцев, пригодится статья о том, как подготовиться к ЕГЭ по математике.

Начните готовиться уже сегодня. Откройте любой вариант, найдите там задания на производную и решите хотя бы три штуки до конца недели.

Часто задаваемые вопросы