Эта тема — одна из ключевых, потому что треугольник является фундаментальной фигурой всей планиметрии и стереометрии. Чтобы решать задачи повышенного уровня сложности, нужно хорошо разбираться в его свойствах.
Задачи в ЕГЭ по математике на треугольники встречаются как в первой (базовые задачи, например, поиск площади, периметра, элементов по свойствам), так и во второй частях экзамена где применяются теоремы синусов, косинусов, метрические соотношения, свойства медиан, биссектрис, высот, окружностей (вписанные, описанные), а также метод координат, векторы, тригонометрия для доказательств, вычислений.
Если хочешь досконально разбираться во всех темах, присоединяйся к курсу подготовки к ЕГЭ по математике.
Основные виды фигур
По сторонам
- Равносторонний:
Все стороны равны, все углы по 60°. Высоты, медианы, биссектрисы, серединные перпендикуляры совпадают.
- Равнобедренный:
Две равные стороны (боковые) и одна — «основание». Углы при основании равны. Высота, медиана, биссектриса, проведенные к основанию, совпадают.
- Разносторонний:
Все стороны и углы разные. Специальных свойств нет.
По углам
- Остроугольный:
Все углы меньше 90°. Центр описанной окружности лежит внутри треугольника.
- Прямоугольный:
Один угол равен 90°. Гипотенуза – сторона, лежащая против прямого угла, является самой большой стороной. Центр описанной окружности лежит на середине гипотенузы (её радиус равен половине гипотенузы).
- Тупоугольный:
Один угол больше 90°. Центр описанной окружности лежит вне фигуры.
Свойства треугольников
Эта теория точно понадобится тебе для решения заданий экзамена:
- Сумма углов: всегда равна 180°.
- Сравнение углов и сторон: против большей стороны лежит больший угол, и наоборот.
- Неравенство треугольника: длина любой стороны меньше суммы длин двух других сторон, больше их разности (по модулю).
- Признаки равенства треугольников (по двум сторонам и углу; по стороне и двум прилежащим углам; по трём сторонам).
- Признаки подобия (по двум углам; по двум пропорциональным сторонам и углу между ними; по трём пропорциональным сторонам).
- Площадь: вычисляется через основание и высоту, две стороны и синус угла между ними, формулу Герона и др.
Основные формулы
Площадь треугольника в ЕГЭ по математике
S = ½ * m * h (m — сторона, h — высота)
S = ½ * k * l * sin(γ) (k, l — две стороны, γ — угол между ними) — одна из самых важных в задачах с тригонометрией.
Формула Герона: S = √(p(p-a)(p-b)(p-c)), p = (a+b+c)/2 — полупериметр.
Прямоугольные треугольники в ЕГЭ по математике
Теорема Пифагора: c² = a² + b².
Катет и проекции: d² = c * dc, где dc — проекция катета «d» на гипотенузу «c».
Высота к гипотенузе: h² = p*q, p и q — проекции катетов
Радиусы вписанной и описанной окружностей
Вписанной: r = S / p, p — полупериметр.
Описанной: R = (a * b * c) / (4S). Для прямоугольного треугольника: R = c/2.
Пропорции в подобных треугольниках
Отношение соответствующих линейных элементов (сторон, высот, медиан) равно коэффициенту подобия k. Отношение площадей равно k².
Элементы и их свойства
- Высоты:
Три отрезка, проведенные из вершин перпендикулярно к противолежащим сторонам. Пересекаются в одной точке — ортоцентре.
- Медианы:
Три отрезка, соединяющие вершины с серединами противолежащих сторон. Пересекаются в одной точке — центре тяжести, которая делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины. Длина медианы: m = ½ √(2b² + 2c² — a²).
- Биссектрисы:
Отрезки, делящие углы пополам. Пересекаются в одной точке — центре вписанной окружности.
Основное свойство: биссектриса делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам: AB₁ / AC₁ = AB / AC.
- Средние линии:
Отрезок, соединяющий середины двух сторон. Параллелен третьей стороне, равен ее половине.
Планиметрия
Вся теория и свойства, приведенные выше, пригодятся тебе при решении задач первой части:
- Простые вычисления (найти угол, сторону, площадь), часто с использованием свойств равнобедренного или прямоугольного треугольника.
- Классические задачи на нахождение элементов фигуры, связанных с окружностями, высотами и т.д.
Повышенный уровень сложности
- Применение тригонометрии. Ключевое — использование теоремы синусов (a/sinA = b/sinB = 2R), косинусов (a² = b² + c² — 2bc*cosA), нахождение площади через синус.
- Сложная планиметрия. Здесь фигура комбинируется с окружностями (вписанными, описанными), рассматриваются пересечения биссектрис, медиан, другие свойства.
- Стереометрия — сечения многогранников, грани пирамид, в задачах на углы.
- Максимально сложные задачи, где нужно видеть взаимосвязи, комбинировать тригонометрию, свойства биссектрис, медиан в одной конструкции.
Самые частые ошибки
- Неверное применение теоремы Пифагора (не в том типе фигуры).
- Путаница между свойствами высоты, медианы и биссектрисы (особенно в равнобедренном треугольнике).
- Арифметические ошибки в формуле Герона.
- Неумение вынести искомый треугольник из объемного чертежа на отдельный рисунок.
Как учить теорию эффективно?
- Сделай таблицы-шпаргалки (на виды, свойства, формулы), повесь их на видном месте в квартире.
- Решай задачи по типам, а не подряд: потрать неделю — на один тип заданий, потом переключись на подобия, биссектрисы, медианы.
- Используй схемы-памятки
- Уделяй равное внимание базовой планиметрии и тригонометрии.
- Для уверенности реши минимум 30 задач по каждому ключевому типу.
Специально для тебя мы подготовили краткий справочник по теме со всеми формулами:
| Элемент | Формула |
| Площадь (основание-высота) | S = ½ a*h |
| Площадь (через синус) | S = ½ a*b*sinγ |
| Площадь (Герон) | S = √(p(p-a)(p-b)(p-c)) |
| Теорема Пифагора | c² = a² + b² |
| Радиус вписанной окружности | r = S/p |
| Радиус описанной окружности | R = abc/(4S) |
| Теорема синусов | a/sinA = b/sinB = c/sinC = 2R |
| Теорема косинусов | a² = b² + c² – 2bc*cosA |
| Длина медианы | m = ½ √(2b² + 2c² – a²) |
Тема этой статьи — абсолютная основа геометрии на ЕГЭ. Четкое понимание свойств фигуры, владение теорией открывает путь к решению как минимум половины всех геометрических задач экзамена. Не оставляй эту тему на потом — отрабатывай ее системно.
Рекомендуем сразу применить знания на практике: реши пробник, сфокусированный на типовых задачах.
Часто задаваемые вопросы
Какие свойства треугольников чаще всего используются в ЕГЭ?
Задания ЕГЭ по математике на треугольники чаще всего требуют знания свойств прямоугольного и равнобедренного, теоремы Пифагора, признаков подобия, а также поиск площади через синус угла.
Что нужно знать про виды треугольников для экзамена?
Чтобы без ошибок решать задания ЕГЭ по математике на треугольники важно знать свойства прямоугольных, так как для них работает теорема Пифагора, тригонометрические соотношения. Также необходимо знать свойства равнобедренного (равенство углов при основании) и равностороннего (все углы 60°).
Какие формулы по треугольникам обязательны для ЕГЭ?
Чтобы найти площадь треугольника на ЕГЭ по математике, важно выучить три формулы (через основание и высоту, через синус, формула Герона), теорему Пифагора, синусов, косинусов, формулы радиусов вписанной, описанной окружностей.
Какую формулу площади треугольника используют чаще всего?
В заданиях ЕГЭ по математике на треугольники в части с тригонометрией чаще всего используется S = ½ ab*sinγ. В более простых задачах — классическая S = ½ ah или формула Герона, если даны три стороны.
Как понять, когда применять теорему Пифагора?
В задачах ЕГЭ по математике на треугольники нужно применять теорему как только нашел прямоугольный треугольник. Это ключевой момент: найти или доказать, что один из углов равен 90°. Часто это углы в квадрате, перпендикуляры, диагонали, вписанные углы, опирающиеся на диаметр.
Бесплатный вводный урок в школе insperia
