Тригонометрические уравнения

Тригонометрическое уравнение содержит неизвестную под знаком синуса, косинуса, тангенса или котангенса. Решать такие уравнения помогают формулы, замена переменной и графический взгляд на задачу. Если вы начинаете подготовку к ЕГЭ по профильной математике, эту тему стоит разобрать одной из первых.

Почему важны тригонометрические уравнения для ЕГЭ

В части с развернутым ответом почти каждый год встречается уравнение, где нужно не только найти корни, но и выбрать те, что лежат на заданном отрезке. Такое задание проверяет сразу несколько умений. Вы работаете с формулами, аккуратно записываете серии решений и умеете отбирать корни по окружности или неравенством.

Как встроить тему в общий план подготовки, рассказано в материале про ЕГЭ по профильной математике 2027.

Основные виды тригонометрических уравнений

Все разнообразие сводится к нескольким типам.

Простейшие уравнения выглядят как $\sin x=a$ или $\cos x=a$. Например, $2\sin x=1$. Здесь достаточно знать формулы корней.

Уравнения, сводящиеся к квадратным, содержат одну функцию в разных степенях. Например, $2{\cos }^{2}x+3\sin x-3=0$ после замены синуса на $t$ превращается в обычное квадратное.

Однородные уравнения вроде $\sin x-\cos x=0$ делятся на косинус в нужной степени. Уравнения с вспомогательным углом имеют вид $a·\sin x+b·\cos x=c$. Отдельная группа решается разложением на множители.

Как решать тригонометрические уравнения: пошаговый алгоритм

1. Преобразуйте уравнение. Приведите все функции к одному аргументу и по возможности к одной функции.
2. Примените формулы. Это основное тригонометрическое тождество, формулы двойного угла, приведения.
3. Найдите корни. Решите простейшие уравнения, запишите общие серии, не забывая период.
4. Проверьте решения. Учтите область допустимых значений, отберите корни на отрезке из условия.

Примеры решения тригонометрических уравнений

Пример 1. Простое тригонометрическое уравнение

Решим $2\sin x=1$. Делим на два и получаем $\sin x=\frac{1}{2}$. Корни записываются двумя сериями, $x=\frac{\pi }{6}+2\pi n$ и $x=\frac{5\pi }{6}+2\pi n$, где $n$ – целое число.

Пример 2. Сложное тригонометрическое уравнение

Решим $2{\cos }^{2}x+3\sin x-3=0$. Заменяем ${\cos }^{2}x$ на $1-{\sin }^{2}x$ и после упрощения имеем $2{\sin }^{2}x-3\sin x+1=0$. Пусть $\sin x=t$, тогда корни квадратного уравнения равны $1$ и $\frac{1}{2}$.

Значение $\sin x=1$ дает $x=\frac{\pi }{2}+2\pi n$. Значение $\sin x=\frac{1}{2}$ дает две знакомые серии из первого примера. Все три серии входят в ответ.

Пример 3. Задание из ЕГЭ

а) Решите уравнение $2{\sin }^{2}x+\cos x+1=0$. б) Найдите корни на отрезке $[-4\pi ;-\frac{5\pi }{2}]$.

Заменим ${\sin }^{2}x$ на $1-{\cos }^{2}x$. Получим $2{\cos }^{2}x-\cos x-3=0$. Корни по $t=\cos x$ равны $\frac{3}{2}$ и $-1$. Первое значение невозможно, ведь косинус не больше единицы. Остается $\cos x=-1$, то есть $x=\pi +2\pi n$.

Для пункта б) подставляем $n$. При $n=-2$ имеем $x=-3\pi$, и число лежит на отрезке, так как $-4\pi <-3\pi <-\frac{5\pi }{2}$. Соседние значения выходят за границы. Ответ – а) $\pi +2\pi n$; б) $-3\pi$.

Типичные ошибки при решении тригонометрических уравнений

Самая частая проблема – это потеря корней при делении. Возьмем $\sin x·\cos x=\sin x$. Если поделить на $\sin x$, останется $\cos x=1$, а решения $\sin x=0$ пропадут. Правильно перенести все влево и вынести множитель, тогда получим $\sin x(\cos x-1)=0$ и обе серии на месте.

Вторая ошибка касается области допустимых значений. В дробных уравнениях корень, обнуляющий знаменатель, нужно выбросить. Третья связана с записью, когда забывают $2\pi n$ или путают формулу для арксинуса со знаком $(-1{)}^n$.

Как успешно решать тригонометрические уравнения для ЕГЭ

Освойте формулы и держите под рукой окружность. Решайте по несколько уравнений каждую неделю, причем разных типов. Ведите список своих ошибок и перечитывайте его перед пробником. Если тема пошла хорошо, переходите к тригонометрическим неравенствам. А общий план подготовки описан в статье “Как подготовиться к ЕГЭ по математике”.

Часто задаваемые вопросы

Какие тригонометрические формулы необходимо знать для решения заданий ЕГЭ?

Основное тождество, формулы двойного угла, приведения, сумма и разность аргументов, а также значения функций для основных углов.

Как правильно записывать общее решение тригонометрического уравнения?

Через период. Для синуса и косинуса это 2πn, для тангенса и котангенса πn, а n всегда целое.

Почему при делении уравнения на синус или косинус можно потерять корни?

Потому что функция в каких-то точках равна нулю. Эти значения x отбрасываются при делении, хотя могли быть решениями.

Как учитывать область допустимых значений в дробных тригонометрических уравнениях?

Выпишите условие на знаменатель до решения, а после найденные корни проверьте на нем.

Когда удобно применять метод вспомогательного угла?

Когда в уравнении есть сумма a·sin x + b·cos x, а привести к одной функции другим способом не получается.

Как правильно оформить решение тригонометрического уравнения, чтобы получить максимальный балл на ЕГЭ?

Показывайте каждое преобразование, записывайте все серии корней, отдельно оформляйте отбор на отрезке, в конце давайте ответ.