Задание 2 для ЕГЭ по профильной математике — векторы

Второе задание в экзамене по профилю проверяет твои знания и умения по теме векторов. Это задача базового уровня сложности, которую совсем не трудно решить и заработать заветный балл. Главное — знать основные определения, алгоритмы, формулы, которых, на самом деле, не очень-то много. Предлагаем начать подготовку к ЕГЭ по математике профильного уровня с этого задания.

Основные понятия и определения

Что такое вектор?

Вектор — это направленный отрезок, который имеет четко заданные начало и конец. В отличие от обычного числового значения или привычного скаляра, эта величина обладает двумя очень важными характеристиками: числовым модулем и геометрическим направлением в пространстве или на плоскости.

У любого вектора есть свои координаты. На плоскости xy они определяются как разность между соответствующими координатами его конечной и начальной точек.

Если точка начала имеет координаты A(x₁; y₁), а точка конца — B(x₂; y₂), то координаты вектора AB вычисляются по простой формуле: (x₂ − x₁; y₂ − y₁).

Виды векторов

• Ненулевые

Точки начала и конца не совпадают. Имеют положительную длину и четко выраженное направление.

• Нулевые

Особый случай, когда точка начала полностью совпадает с точкой конца. Их длины равны нулю, а направление является неопределенным.

• Коллинеарные

Лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Могут быть сонаправленными или противоположно направленными.

Формулы для работы с векторами в задании 2 ЕГЭ

Длина (модуль) вектора

Длина вектора обозначается как |a| и представляет собой расстояние между его начальной и конечной точками. Если известны координаты вектора →a(a_x; a_y), его длина находится по формуле, вытекающей из теоремы Пифагора:

Разберем конкретный случай. Пусть даны точки A(1; 2) и B(4; 6). Сначала находим координаты вектора: →AB = (4 − 1; 6 − 2) = (3; 4). Теперь подставляем полученные значения в формулу длины:

Скалярное произведение векторов

Можно найти двумя способами:

• через координаты

Если есть →a и →b с соответственными координатами (a_x; a_y) и (b_x; b_y), то их скалярное произведение будем искать так:

• через угол

В этом случае скалярное произведение двух векторов →a и →b — это число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними:

Угол между векторами

Вторая формула скалярного произведения помогает с легкостью определять угол между двумя направленными отрезками.

Если результат получается положительным, то угол между векторами является острым. Если результат равен нулю, то векторы перпендикулярны. Если же значение отрицательное — угол тупой.

Алгоритм решения задания 2

Шаги для решения задач

1. Внимательно прочитай задание. Определи, что нужно найти: координаты вектора; его длину; скалярное произведение; координаты точки.
2. Выпиши, что уже известно из условия задачи.
3. Выбери подходящую формулу.
4. Подставь известные значения. Лучше даже простейшие вычисления делать на черновике, при устном счете легко допустить обидную ошибку.
5. Проверь ответ на логику и соответствие вопросу задачи.
6. Запиши ответ.

Частые ошибки и как их избежать

• Ошибка в знаках

При работе с отрицательными числами очень легко ошибиться: например, забыть убрать минус при возведении в квадрат. Именно поэтому стоит проводить все вычисления на бумаге: это поможет внимательно следить за порядком своих действий.

• Путаница с началом и концом вектора

При записи вектора первая буква всегда обозначает начало, вторая — конец. Например, $AB⃗$ — это вектор с началом в точке A и концом в точке B. Эта ошибка может стоит балла в задании, где нужны найти координаты вектора. Чтобы ее избежать запомни простое правило: «конец минус начало».

• Неправильное использование формул

В вопросе задачи уже содержится название формулы, которая понадобится. Если сказано: «найдите скалярное произведение» — ищи его по координатам или углу, если сказано «найдите длину вектора» — бери стандартную формулу модуля.

Если в течение года придерживаться правильной стратегии обучения, никакие ловушки тебе будут не страшны. Читай наш разбор, как подготовиться к ЕГЭ по математике.

Примеры с разбором

Пример 1. Длина суммы векторов

Даны векторы →a(2; 5) и →b(4; 3). Найдите длину вектора →c = →a + →b.

Решение:

1. Сначала находим координаты суммарного вектора →c. При сложении векторов их соответствующие координаты складываются:
   c_x = 2 + 4 = 6
   c_y = 5 + 3 = 8
2. Таким образом, вектор →c имеет координаты (6; 8).
3. Теперь находим длину вектора →c по формуле модуля:
   |c| = √(6² + 8²) = √(36 + 64) = √100 = 10

Ответ: 10.

Пример 2. Скалярное произведение

Найдите скалярное произведение векторов →a(5; − 2) и →b(3; 4).

Решение:

1. Применяем алгебраическую формулу скалярного произведения для координат:
   →a · →b = a_x · b_x + a_y · b_y
2. Подставляем значения:
   →a · →b = 5 · 3 + (− 2) · 4 = 15 − 8 = 7

Ответ: 7.

Важное по векторной математике на ЕГЭ

Задание 2 — отличная возможность заработать легкий балл, а также потренироваться перед сложными задачами второй части, где пригодятся знания векторного метода. Запомни несколько формул, а в течение года отрабатывай их на практике — этого достаточно для уверенного решения № 2 на ЕГЭ по профильной математике 2027.