Самые сложные задания ОГЭ по математике и как их решать

Какие задания считаются самыми сложными в ОГЭ по математике?

Экзамен состоит из 25 заданий, разделенных на два уровня: базовый (задания 1-19) и повышенной сложности (задания 20-25). Наибольшие трудности традиционно вызывают задачи с развернутым ответом из второй части (особенно № 20-25), а также некоторые номера из первой части (например, № 10, 13, 15, 17, 19).

Эти задачи сложны, потому что требуют:

• комбинации знаний: необходимо одновременно применять формулы, теоремы, методы из разных разделов математики.
• построения логической цепочки: нужно самостоятельно выстроить ход решения, который часто неочевиден.
• внимательности, точности: любая, даже небольшая вычислительная ошибка или неверно примененное свойство приводит к неверному ответу.
• геометрической интуиции: в задачах по геометрии важно увидеть дополнительные построения или взаимосвязи фигур.

Разбор самых сложных заданий ОГЭ по математике

Геометрия (площадь, объем, окружность) (№ 15-18)
Задачи на вычисление площадей, объемов, элементов окружностей или комбинаций фигур. Типичные ошибки: путаница в формулах, неверное определение размеров на чертеже, незнание свойств вписанных/описанных фигур.

Как решать?

• Внимательно изучите чертеж, перепишите все данные.
• Определите, по какой формуле считается искомая величина (площадь треугольника, объем призмы, длина окружности).
• Найдите на чертеже или вычислите все необходимые для формулы элементы (стороны, высоты, радиусы). Часто для этого требуется применить теорему Пифагора или признаки подобия.
• Проведите вычисления, проверьте размерность ответа.

Совет: выучите, отработайте формулы площадей всех фигур, свойства окружностей (центральные и вписанные углы, касательные, хорды). Помните, что необходимые формулы всегда даны в дополнительных материалах!

Окружность и её свойства (№ 16, 18)
Это задания высокого уровня сложности.
Что нужно знать, применять:

• свойства вписанных и центральных углов (вписанный угол равен половине центрального, опирающегося на ту же дугу);
• углы между касательной, хордой;
• свойства вписанных, описанных четырехугольников (суммы противоположных углов);
• теорему о пересекающихся хордах, секущих и касательных;
• часто требуются дополнительные построения: проведение радиусов к точкам касания, хорд, вспомогательных треугольников.

Подход к решению: 1) Отметить на чертеже все равные углы, отрезки (касательные из одной точки равны, радиусы и т.д.). 2) Найти пары подобных треугольников. 3) Использовать тригонометрию в прямоугольных треугольниках. 4) Составить уравнение, связывающее искомый элемент с известными.

Системы уравнений (задания 11, 13, 20)
Задачи усложняются нелинейностью (например, сочетание линейного, квадратного уравнения), дробными выражениями или параметрами.

Методы решения:

• Подстановка: выразить одну переменную из одного уравнения, подставить в другое. Самый универсальный метод.
• Сложение/вычитание: умножить уравнения на коэффициенты так, чтобы при сложении одна переменная «уничтожилась». Часто используется для линейных систем.
• Замена переменной: если в системе есть повторяющиеся комбинации (например, х+y и xy), их удобно обозначить новыми переменными.
• Графический метод (для понимания): полезно представлять, сколько решений может иметь система (точки пересечения графиков).

Алгоритм. 

1. Упростить каждое уравнение (раскрыть скобки, избавиться от дробей).
2. Выбрать метод. 
3. Решить полученное уравнение с одной переменной. 
4. Подставить найденное значение. 
5. Записать ответ в виде пар (x; y).

Алгебра (степени, корни, логарифмы) (№ 7, 8)
Ключ — уверенное владение свойствами.

• Степени: a^m * a^n = a^(m+n), (a^m)^n = a^(mn), a^(-n) = 1/a^n.
• Корни: √(a*b) = √a * √b, √(a/b) = √a / √b, связь корня, а также степени: √[n]{a} = a^(1/n).
• Логарифмы (входят в программу): Определение: log_a b = c ⇔ a^c = b. Основные свойства: log_a (xy) = log_a x + log_a y, log_a (x/y) = log_a x — log_a y, log_a (x^p) = p * log_a x. Формула перехода к новому основанию — одна из самых важных и часто используемых.

Ошибки: неверное применение свойств к суммам/разностям (логарифм суммы НЕ РАВЕН сумме логарифмов!), потеря области допустимых значений (ОДЗ) для логарифмов, корней (подлогарифмическое выражение >0, подкоренное выражение ≥0).

Логика, задачи на алгоритмы
Непривычный формат, требующий не вычислений, а анализа условий, построения строгой логической модели.

Стратегии:

• Внимательно, пошагово прочитайте условие. Выделите все объекты, их свойства, связи между ними.
• Визуализируйте: сделайте схему, таблицу или рисунок.
• Рассуждайте от простого к сложному, используя метод исключения или перебора возможных вариантов.
• Проверьте, удовлетворяет ли полученный ответ всем условиям задачи сразу.

Как подготовиться к решению сложных заданий?

Постоянная практика
Регулярность — залог успеха. Недостаточно понять решение один раз. Нужно решать много задач одного типа, чтобы выработался навык, скорость. Решайте по 2-3 сложные задачи ежедневно. Возьмите сборник ОГЭ прошлых лет, пробники ФИПИ. Фокусируйтесь на своих слабых местах. Кстати, на нашем курсе подготовки к ОГЭ по математике собраны все задания прошлых лет.

Изучение теории и формул
Рекомендуемые формулы: все формулы сокращенного умножения, свойства степеней, корней, формулы площадей фигур, объемов тел, теорема Пифагора и теорема косинусов, свойства окружности, уравнения прямой, параболы. Составьте свою шпаргалку-конспект.

Разбор типичных ошибок
Анализируйте каждую свою ошибку в тренировочных работах. Почему она возникла? Незнание теории? Вычислительная неточность? Неверно прочитано условие? Заведите отдельную тетрадь для работы над ошибками, регулярно ее просматривайте. Всегда проверяйте решение, подставляя ответ в исходное условие, если это возможно.

Советы по решению сложных задач на экзамене

• Не пытайтесь «увидеть» ответ сразу. Разбивайте задачу на подзадачи. Что дано? Что найти? Какие теоремы здесь могут работать? Каждый шаг записывайте четко.
• Черновик — ваш главный рабочий инструмент. Аккуратно записывайте выкладки, рисунки, таблицы. Это поможет не запутаться и, в случае необходимости, найти ошибку.
• Распределите 235 минут экзамена. На первую часть (задания 1-19) отведите не более 120 минут. Оставшееся время посвятите сложным заданиям второй части. Если какая-то задача «не идет», переходите к следующей, а к ней вернетесь, если останется время.

Успешная сдача ОГЭ по математике на высокий балл — это результат системной подготовки. Начните готовиться заранее, сфокусируйтесь на самых сложных для вас типах заданий, отрабатывая их до автоматизма. Постоянно повторяйте теорию, учитесь на своих ошибках, тренируйтесь в условиях, близких к экзаменационным. Уверенность, высокий результат придут вместе с практикой, самопроверкой. Удачи на экзамене!

Часто задаваемые вопросы

 Как подготовиться к ОГЭ по математике, если у меня есть пробелы в знаниях?

Начните с диагностики: решите несколько вариантов ОГЭ, отметьте, какие именно задания огэ по математике вызывают трудности. Затем составьте индивидуальный план, восполняя пробелы по одной теме. Например, если не дается геометрия, выделите неделю на повторение теоретического материала, ежедневное решение 3-5 задач разного уровня сложности именно по этой теме. Используйте официальный открытый банк заданий ФИПИ. Регулярность — ключ: 40-60 минут в день системных занятий дадут лучший результат, чем многочасовые бессистемные усилия раз в неделю.

 Какие ресурсы использовать для подготовки к сложным заданиям?

Основной и самый надежный ресурс — официальный сайт Федерального института педагогических измерений (ФИПИ). Там вы найдете демоверсии, спецификации, кодификатор и главное — открытый банк ОГЭ по математике с самыми сложными заданиями, в том числе и второй части. Для самостоятельной работы полезны школьные учебники (особенно по алгебре и геометрии для 7-9 классов), проверенные рабочие тетради, сборники типовых экзаменационных вариантов.

Как решить задание по геометрии, если я не знаю формул?

Полное незнание формул сделает решение большинства сложных заданий ОГЭ по математике по геометрии невозможным, так как эти номера проверяют умение их применять. Однако часто проблема не в абсолютном незнании, а в неумении выбрать нужную формулу из справочных материалов (они входят в комплект КИМ) или связать несколько теорем в цепочку решений. Действуйте по алгоритму.

• Внимательно прочитайте условие, сделайте аккуратный чертеж.
• Выпишите на черновик все данные, искомый элемент.
• Вспомните (или найдите в справочнике) раздел, к которому относится задача (планиметрия, площади, окружности).
• Попробуйте найти связь между данными, искомым через известные теоремы (Пифагора, подобия, свойства вписанных углов). Если формулу забыли, часто ее можно вывести из других известных фактов или с помощью дополнительного построения.

 Как не ошибиться при решении задач на системы уравнений?

Ошибки здесь чаще всего возникают из-за невнимательности, спешки. 

• Четко записывайте каждое преобразование.
• Определите наиболее подходящий метод (подстановка, сложение). Для нелинейных систем часто требуется замена переменных.
• Найденные корни обязательно подставьте в оба исходных уравнения системы. Это займет минуту, но позволит избежать потери баллов из-за вычислительной ошибки.
• Учет ОДЗ: особенно внимательно проверяйте область допустимых значений, если в системе есть дроби, корни или логарифмы.

Сколько времени нужно для подготовки к сложным заданиям ОГЭ?

Все зависит от вашего текущего уровня. Для уверенного освоения самых сложных заданий ОГЭ по математике (номера 20-25) требуется системная работа в течение минимум 4-6 месяцев. Главный принцип — регулярность. Лучше заниматься по часу 4-5 раз в неделю, чем один раз просидеть 5 часов. Постоянное повторение и наращивание сложности решаемых задач — залог успеха.