Самые сложные задания ЕГЭ по математике и как их решать

Что нужно знать о ЕГЭ по профилю?

Структура

ЕГЭ по математике делится на два уровня: базовый и профильный. Базовый — для аттестата. Профильный — твой выбор, если поступаешь в технический или экономический вуз. Именно в профильной математике прячутся самые сложные задачи.

Экзамен состоит из двух частей:

• Первая часть ( 1–12) — это задания с кратким ответом, которые проверяют базовые знания. Это твоя «подушка безопасности», которая даёт первые баллы. Здесь проверяются основы: планиметрия, векторы, стереометрия, теория вероятностей, простые уравнения, производная и первообразная. Каждое правильно решённое задание приносит балл — пропускать их нельзя.
• Вторая часть ( 13–19) — с развёрнутым решением. Вот здесь начинается настоящий хардкор. № 13, 15, 16, 18, 19 традиционно считаются самыми сложными. Они требуют не только знания формул, но и глубокого понимания материала, логики и нестандартного мышления. Именно эти задания отделяют тех, кто получит 70+ баллов, от тех, кто претендует на 90+.

Почему они вызывают столько проблем?

Во-первых, нестандартные формулировки. Тебе не дадут простое уравнение, решаемое по шаблону. Придётся анализировать и думать. Во-вторых, объём знаний. Например, для решения задачи по геометрии (№ 16) нужно помнить множество теорем, свойств. В-третьих, «подводные камни»: ОДЗ, особые случаи, которые легко упустить в стрессе. Часто вопрос сформулирован так, чтобы проверить твою внимательность.

Ещё одна проблема — время. Многие ученики тратят слишком много времени на первую часть или зацикливаются на одном сложном задании, теряя возможность заработать баллы на других задачах. Поэтому важно не только уметь решать, но и правильно распределять время на экзамене.

Самые сложные задания ЕГЭ по математике

Познакомимся с «большой пятёркой» — самыми сложными заданиями ЕГЭ по математике. Мы собрали их ключевые особенности в одну таблицу.

Номер	Тема	Макс. балл	Ключевые сложности
13	Уравнения	2	Тригонометрия, логарифмы, отбор корней на промежутке
15	Неравенства	2	Метод интервалов, ОДЗ, замена переменной
16	Планиметрия	3	Доказательство и вычисление. Требует знания всей школьной геометрии
18	Задача с параметром	4	Графический / аналитический методы, логика, исследование функций
19	Теория чисел	4	Свойства чисел, делимость, логические рассуждения. Самое творческое задание

Характеристика сложных номеров

№ 13 — чаще всего тригонометрическое уравнение. Главная ошибка — потерять корни при преобразованиях или неправильно отобрать их на заданном отрезке. Ответ должен быть точным. Совет: всегда держи в голове тригонометрический круг! Также встречаются логарифмические и показательные уравнения, где важно не забыть про ОДЗ. Это задание не такое сложное, если хорошо отработать типовые примеры.

№ 15 — логарифмические или показательные неравенства. Здесь важно не забыть про ОДЗ + быть внимательным при применении метода интервалов. Часто встречаются рациональные неравенства с дробями, где нужно правильно определить знаки на промежутках. Ещё один подводный камень — смена знака неравенства при делении на отрицательное число или при логарифмировании с основанием меньше единицы.

№ 16 — геометрия во всей красе. Задача состоит из двух пунктов: «а» (на доказательство) и «б» (на вычисление). Даже если не можешь доказать пункт «а», смело берись за «б», используя утверждение из «а» как данное. Это может принести тебе балл! № 16 считается одним из самых сложных во второй части. Здесь проверяются знания о треугольниках, окружностях, четырёхугольниках, подобии, теореме Пифагора…

№ 18 — задача с параметром. Это задание проверяет умение мыслить как исследователь. Часто самый эффективный метод — графический. Построй график функции и посмотри, как он меняется в зависимости от параметра. Найти правильный ответ здесь — большое достижение. Нужно понимать свойства функций, симметрии, монотонности, а также уметь работать с модулями.

№ 19 — олимпиадная задача на теорию чисел. Она состоит из трёх пунктов. Пункты «а» и «б» обычно проще: нужно привести пример или дать ответ «нет» + доказать, почему. Пункт «в» — самый сложный, соответственно, требует развёрнутого решения. Не бойся экспериментировать с числами, искать закономерности. Это вершина ЕГЭ по математике. Здесь могут встретиться задачи на делимость, НОД, НОК, признаки делимости, арифметические прогрессии и другие темы.

Изменения в ЕГЭ по математике

Хорошая новость! По данным ФИПИ, в 2026 году изменений в структуре нет. Это значит, что ты можешь спокойно готовиться по материалам прошлых лет, включая сложные задания ЕГЭ математика 2025. Они остаются теми же, а значит, наши методики подготовки работают. Сложность экзамена из года в год остаётся стабильно высокой. Главный тренд — упор на логику и умение применять знания в нестандартных ситуациях. История показывает, что экзамен не становится проще, но и не усложняется кардинально.

Пошаговые методики решения сложных заданий

Общие алгоритмы

Для любой сложной задачи есть универсальный подход.

1. Разбей решение на этапы. Сначала анализ условия: прочитай задачу 2-3 раза, выдели ключевые слова, числа, условия. Что дано? Что нужно найти?
2. Затем построение модели: переведи условие на язык математики. Это может быть уравнение, неравенство, чертёж.
3. Далее поиск решения: подумай, какие теоремы, формулы или методы применимы. Набросай план решения. Определи порядок действий.
4. Потом вычисления: аккуратно выполни все расчёты, проверь каждое значение.
5. И наконец, проверка: проверь ответ. Соответствует ли он условию? Не забыл ли ты про ОДЗ?

Этот алгоритм работает для всей второй части. Главное — не торопиться, действовать последовательно. Даже если задача кажется невероятно сложной, разбив ее на шаги, ты увидишь, что она вполне решаемо.

Советы для решении конкретных заданий

Пример для № 13 (Уравнение)

Решите уравнение 2cos²(x) — 3sin(x) = 0 и найдите корни на отрезке [π; 5π/2].

Тактика: используй основное тригонометрическое тождество cos²(x) = 1 — sin²(x), чтобы привести уравнение к одной функции (синусу).

Получится 2(1 — sin²(x)) — 3sin(x) = 0, или 2 — 2sin²(x) — 3sin(x) = 0. Перепиши как 2sin²(x) + 3sin(x) — 2 = 0. Реши квадратное уравнение относительно sin(x), сделав замену t = sin(x). Получишь 2t² + 3t — 2 = 0. Найди корни: t₁ = 1/2, t₂ = −2.

Второй корень не подходит, так как −1 ≤ sin(x) ≤ 1. Значит, sin(x) = 1/2. Отсюда x = π/6 + 2πn или x = 5π/6 + 2πn. Для отбора корней на отрезке [π; 5π/2] используй тригонометрический круг или двойное неравенство. Подставь разные значения n и проверь, какие корни попадают в отрезок. Это простой пример, но он хорошо иллюстрирует подход.

Пример для № 18 (Параметр)

Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение √(x² — 6x + 5) = a — x имеет единственный корень.

Тактика: перенеси x в левую часть, построй графики функций y = √(x² — 6x + 5) + x и y = a. График первой функции — это часть гиперболы.

Сначала определи область определения: x² — 6x + 5 ≥ 0, то есть (x — 1)(x — 5) ≥ 0. Отсюда x ≤ 1 или x ≥ 5. Построй график функции на этих промежутках. Горизонтальная прямая y = a должна пересечь этот график ровно в одной точке. Проанализируй, при каких значениях a это происходит.

Найди значения функции на концах промежутков и в точках экстремума.

Как себе помочь?

Чтобы лучше подготовиться, используй онлайн-инструменты. Например, Desmos для построения графиков в задачах с параметром или онлайн-тренажёры для отработки заданий первой части. А вот небольшой чек-лист, который поможет избежать глупых ошибок:

1. Внимательно прочитай условие, пойми, что нужно найти.
2. Проверь ОДЗ для логарифмов, корней.
3. Не потеряй корни при преобразованиях в уравнении.
4. Правильно выполни все арифметические вычисления.
5. Убедись, что твой ответ в задаче по геометрии выглядит правдоподобно.
6. Обоснуй каждый шаг во второй части.

Советы по подготовке

Время — твой главный враг на ЕГЭ. На экзамен даётся 3 часа 55 минут (235 минут). Распредели время грамотно:

• Часть 1 (12 заданий) — 30-40 минут. Эти простые задачки нужно решать быстро.
• № 13, 15 — по 15-20 минут на каждое уравнение или неравенство.
• № 17 (финансовая математика) — 20-25 минут.
• № 14, 16, 18, 19 — всё оставшееся время. Начни с тех, в которых уверен больше.
• Проверка — оставь 15-20 минут в конце, чтобы всё перепроверить.

Если не можешь решить задачу, пропусти её и вернись позже. Не зацикливайся! Главное — сохранять спокойствие. Это просто экзамен, а не событие вселенского масштаба. Твоё образование не зависит от одного события. Помни, что даже частичное решение задачи может принести баллы. Например, в № 19 можно решить только пункты «а» и «б» — получить за них 2 балла из 4.

Индивидуальный подход в подготовке

У каждого свои сильные и слабые стороны. Определи, какие темы даются тебе сложнее всего. Решай как можно больше задач именно на эти темы. Не бойся просить помощи у преподавателя или друзей. Главный секрет успеха — регулярная практика. Лучше заниматься по часу каждый день, чем 5 часов раз в неделю. Составь план подготовки, следуй ему. Это поможет отслеживать результат, а также чувствовать себя увереннее. Хорошая подготовка — ключ к высоким баллам.

Кроме того, важно решать полные варианты ЕГЭ в условиях, приближенных к реальным. Засекай время, не отвлекайся, не пользуйся калькулятором (его не будет на экзамене). Это поможет тебе привыкнуть к формату и научиться правильно распределять силы.

Заключение

ЕГЭ по профильной математике — это серьёзное испытание, но вполне преодолимое. Самые сложные задания требуют не гениальности, а системной подготовки, внимания к деталям и логического мышления. Мы разобрали ключевые трудности, а также дали практические советы, которые помогут набрать высокий балл. Помни, что твой результат — это итог твоей работы и усердия. Верь в себя, готовься с умом — у тебя всё получится!

Часто задаваемые вопросы

Какие задания считаются самыми сложными в ЕГЭ по математике?

Традиционно сложные в ЕГЭ по математике — задания второй части с развёрнутым ответом. Наивысший уровень сложности у № 18 (задача с параметром) и № 19 (теория чисел), так как они требуют нешаблонного подхода, глубоких знаний. Также трудности вызывают геометрические задачи № 14 (стереометрия), № 16 (планиметрия).

Какие задания сложнее — в профильном ЕГЭ или базовом?

Однозначно, профильная математика ЕГЭ сложнее. Базовый уровень проверяет основные математические навыки, необходимые в повседневной жизни, похож на ОГЭ. Профильный же экзамен нацелен на абитуриентов инженерных и экономических специальностей, поэтому уровень задач там гораздо выше, особенно во второй части.

Как правильно решать задания с параметрами?

В ЕГЭ по математике сложные задания с параметрами (№ 18) требуют особого подхода. Есть два главных метода: аналитический, графический. Аналитический — решение через формулы и преобразования. Графический — построение графиков в системе координат, где параметр влияет на их положение. Часто именно графический метод даёт наглядное простое решение. Главное — хорошо знать свойства основных функций, уметь определять их поведение.

Почему задачи по геометрии считаются трудными?

Сложность ЕГЭ по профильной математике в том, что нужно не только знать огромное количество теорем, свойств, формул, но и уметь их «видеть» на чертеже. Задачи по планиметрии (№ 16) и стереометрии (№ 14) требуют пространственного воображения, логики, умения выстраивать цепочку доказательств. Хорошо нарисованный график — это уже половина решения!