4πR2=4π⋅142+4π⋅482⟹R2=196+2304=2500,R=504\pi R^{2} = 4\pi\cdot 14^{2} + 4\pi\cdot 48^{2} \implies R^{2} = 196 + 2304 = 2500, \qquad R = 50

400−2⋅150=100,P=100400=0,25400 - 2\cdot 150 = 100, \qquad P = \frac{100}{400} = 0{,}25

0,56⋅0,1=0,056,0,144−0,056=0,0880{,}56\cdot 0{,}1 = 0{,}056, \qquad 0{,}144 - 0{,}056 = 0{,}088 P(пенсионер|мужчина)=0,0880,44=0,2P(\text{пенсионер}\mid\text{мужчина}) = \frac{0{,}088}{0{,}44} = 0{,}2

M=500⋅100+100⋅500+10⋅1000+5⋅50000+1⋅10000050000=46000050000=9,2M = \frac{500\cdot 100 + 100\cdot 500 + 10\cdot 1000 + 5\cdot 50\,000 + 1\cdot 100\,000}{50\,000} = \frac{460\,000}{50\,000} = 9{,}2

ОДЗ: 8−3x>0. По определению логарифма 8−3x=27=1288 - 3x = 2^{7} = 128, откуда x=−40 — подходит.

S=v0t+at22,v0=65,a=40S = v_0 t + \frac{at^{2}}{2}, \qquad v_0 = 65, \qquad a = 40 65t+20t2=60⟹4t2+13t−12=0,D=169+192=361=19265t + 20t^{2} = 60 \implies 4t^{2} + 13t - 12 = 0, \qquad D = 169 + 192 = 361 = 19^{2} t=−13±198⟹t=0,75 ч=45 минt = \frac{-13 \pm 19}{8} \implies t = 0{,}75\ \text{ч} = 45\ \text{мин}

Пусть скорость второго v. Тогда 88v−88v+3=3⟹v2+3v−88=0\frac{88}{v} - \frac{88}{v + 3} = 3 \implies v^{2} + 3v - 88 = 0 D=9+352=361,v=−3+192=8D = 9 + 352 = 361, \qquad v = \frac{-3 + 19}{2} = 8

Разбор тренировочной работы №1 Статград по профильной математике

Q: Решение

cos⁡φ=a→⋅b→|a→||b→|=−4⋅4+(−3)(−3)16+9⋅16+9=−725=−0,28\cos\varphi = \frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}|\,|\vec{b}|} = \frac{-4\cdot 4 + (-3)(-3)}{\sqrt{16 + 9}\cdot\sqrt{16 + 9}} = \frac{-7}{25} = -0{,}28

Q: Решение

1,6⋅1,40,56=1,6⋅1,40,56=2,240,56=4=2\frac{\sqrt{1{,}6}\cdot\sqrt{1{,}4}}{\sqrt{0{,}56}} = \sqrt{\frac{1{,}6\cdot 1{,}4}{0{,}56}} = \sqrt{\frac{2{,}24}{0{,}56}} = \sqrt{4} = 2

Q: Решение

Функция убывает на промежутках (−2; 2,5), (5,5; 6,5) и (7,5; 9,5). Целые точки внутри них: −1, 0, 1, 2; 6; 8, 9 — всего семь.

ВАРИАНТ МА2610111

Задание 1

Основания трапеции равны 3 и 4. Найдите больший из отрезков, на которые делит среднюю линию этой трапеции одна из её диагоналей.

Ответ: 2

Решение

Диагональ отсекает от средней линии отрезки, каждый из которых — средняя линия соответствующего треугольника, то есть равен половине основания:

\frac{3}{2} = 1{,}5 \qquad \text{и} \qquad \frac{4}{2} = 2

Задание 2

На координатной плоскости изображены векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ , координатами которых являются целые числа. Найдите косинус угла между ними.

Ответ: -0,28

Решение

\cos\varphi = \frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}|\,|\vec{b}|} = \frac{-4\cdot 4 + (-3)(-3)}{\sqrt{16 + 9}\cdot\sqrt{16 + 9}} = \frac{-7}{25} = -0{,}28

Задание 3

Радиусы двух шаров равны 14 и 48. Найдите радиус шара, площадь поверхности которого равна сумме площадей поверхностей двух данных шаров.

Ответ: 50

Решение

4\pi R^{2} = 4\pi\cdot 14^{2} + 4\pi\cdot 48^{2} \implies R^{2} = 196 + 2304 = 2500, \qquad R = 50

Задание 4

На олимпиаде по биологии 400 участников разместили в трёх аудиториях. В первых двух удалось разместить по 150 человек, оставшихся перевели в запасную аудиторию в другом корпусе. Найдите вероятность того, что случайно выбранный участник писал олимпиаду в запасной аудитории.

Ответ: 0,25

Решение

400 – 2\cdot 150 = 100, \qquad P = \frac{100}{400} = 0{,}25

Задание 5

В городе 44 % взрослого населения — мужчины. Пенсионеры составляют 14,4 % взрослого населения, причём доля пенсионеров среди женщин равна 10 %. Для социологического опроса выбран случайным образом мужчина, проживающий в этом городе. Найдите вероятность события «выбранный мужчина является пенсионером».

Ответ: 0,2

Решение

0{,}56\cdot 0{,}1 = 0{,}056, \qquad 0{,}144 – 0{,}056 = 0{,}088

P(\text{пенсионер}\mid\text{мужчина}) = \frac{0{,}088}{0{,}44} = 0{,}2

Задание 6

Всего выпущено 50 000 лотерейных билетов. Сумма выигрышей и число выигрышных билетов показаны в таблице.

Выигрыш	100 р.	500 р.	1000 р.	50 тыс. р.	100 тыс. р.
Число выигрышных билетов	500	100	10	5	1

Найдите математическое ожидание случайной величины «выигрыш на один билет», который получит один случайный покупатель лотерейного билета. Ответ дайте в рублях.

Ответ: 9,2

Решение

M = \frac{500\cdot 100 + 100\cdot 500 + 10\cdot 1000 + 5\cdot 50\,000 + 1\cdot 100\,000}{50\,000} = \frac{460\,000}{50\,000} = 9{,}2

Задание 7

Найдите корень уравнения $\log_{2}(8 – 3x) = 7$

Ответ: -40

Решение

ОДЗ: $8 - 3 x > 0$ . По определению логарифма $8 – 3x = 2^{7} = 128$ , откуда $x = - 40$ — подходит.

Задание 8

Найдите значение выражения $\frac{\sqrt{1{,}6}\cdot\sqrt{1{,}4}}{\sqrt{0{,}56}}$

Ответ: 2

Решение

\frac{\sqrt{1{,}6}\cdot\sqrt{1{,}4}}{\sqrt{0{,}56}} = \sqrt{\frac{1{,}6\cdot 1{,}4}{0{,}56}} = \sqrt{\frac{2{,}24}{0{,}56}} = \sqrt{4} = 2

Задание 9

На рисунке изображён график функции $y = f (x)$ , определённой на интервале $(- 2; 12)$ . Определите количество целых точек, в которых функция $f (x)$ убывает.

Ответ: 7

Решение

Функция убывает на промежутках $(- 2; 2,5)$ , $(5,5; 6,5)$ и $(7,5; 9,5)$ . Целые точки внутри них: $- 1, 0, 1, 2; 6; 8, 9$ — всего семь.

Задание 10

Мотоциклист, движущийся по городу со скоростью $v_{0} = 65$ , выезжает из него и сразу после выезда начинает разгоняться с постоянным ускорением $a = 40$ . Расстояние от мотоциклиста до города, измеряемое в километрах, определяется выражением $S = v_{0} t + \frac{a t^{2}}{2}$ . Определите наибольшее время, в течение которого мотоциклист будет находиться в зоне функционирования сотовой связи, если оператор гарантирует покрытие на расстоянии не далее чем в 60 км от города. Ответ дайте в минутах.

Ответ: 45

Решение

S = v_0 t + \frac{at^{2}}{2}, \qquad v_0 = 65, \qquad a = 40

65t + 20t^{2} = 60 \implies 4t^{2} + 13t – 12 = 0, \qquad D = 169 + 192 = 361 = 19^{2}

t = \frac{-13 \pm 19}{8} \implies t = 0{,}75\ \text{ч} = 45\ \text{мин}

Задание 11

Два велосипедиста одновременно отправились в 88-километровый пробег. Первый ехал со скоростью, на 3 км/ч большей, чем скорость второго, и прибыл к финишу на 3 часа раньше второго. Найдите скорость велосипедиста, пришедшего к финишу вторым. Ответ дайте в км/ч.

Ответ: 8

Решение

Пусть скорость второго $v$ . Тогда

\frac{88}{v} – \frac{88}{v + 3} = 3 \implies v^{2} + 3v – 88 = 0

D = 9 + 352 = 361, \qquad v = \frac{-3 + 19}{2} = 8

Задание 12

На рисунке изображены графики функций $f (x) = - 3 x + 13$ и $g (x) = a x^{2} + b x + c$ , которые пересекаются в точках $A$ и $B$ . Найдите ординату точки $B$ .

Ответ: 22

Решение

По рисунку парабола проходит через точки $(- 1; 8)$ , $(1; 2)$ и $(3; 4)$ . Подставим их в $g (x) = a x^{2} + b x + c$ :

\begin{cases} a – b + c = 8, \\ a + b + c = 2, \\ 9a + 3b + c = 4. \end{cases}

Вычитая первое уравнение из второго, получаем $2 b = - 6$ , то есть $b = - 3$ ; тогда $a + c = 5$ и $9 a + c = 13$ , откуда $a = 1$ , $c = 4$ . Значит, $g (x) = x^{2} - 3 x + 4$ .

Точки пересечения с прямой:

x^{2} – 3x + 4 = -3x + 13 \implies x^{2} = 9 \implies x = 3 \ \text{или}\ x = -3

Тогда $y_B = -3\cdot(-3) + 13 = 22$

Задание 13

В июле 2030 года планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:

— каждый январь долг увеличивается на 20 % по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.

Сколько рублей планируется взять в банке, если известно, что кредит будет полностью погашен тремя равными платежами (то есть за три года) и общая сумма выплат после полного погашения кредита будет на 61 760 рублей больше суммы, взятой в кредит?

Ответ: 145600

Решение

Пусть сумма кредита $S$ , платёж $x$ , коэффициент $k = 1,2$ . После трёх лет долг погашен:

S k^{3} = x\left(k^{2} + k + 1\right) \implies x = \frac{S k^{3}}{k^{2} + k + 1} = \frac{1{,}728\,S}{3{,}64}

Переплата равна $3 x - S$

3x – S = S\left(\frac{5{,}184}{3{,}64} – 1\right) = S\cdot\frac{1{,}544}{3{,}64} = 61\,760

S = 61\,760\cdot\frac{3{,}64}{1{,}544} = 145\,600

Задание 14

а) Решите уравнение $\frac{\sqrt{3}}{\cos x} = 4\cos\left(\frac{3\pi}{2} – x\right)$

б) Укажите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[-\frac{17\pi}{4};\, -\frac{13\pi}{4}\right]$

Решение и ответ

а) ОДЗ: $\sin x \neq 0$ . По формуле приведения $\sin (\frac{3 π}{2} - x) = - \cos x$ , поэтому

\frac{\sqrt{3}}{\cos x} – 4\cos{x} \implies \sqrt{3} = – 4\sin{x}\cos{x} = -2 \sin {2x}

\sin 2x = -\frac{\sqrt{3}}{2} \implies x = -\frac{\pi}{6} + \pi k \quad\text{или}\quad x = -\frac{\pi}{3} + \pi k, \qquad k \in \mathbb{Z}

x_1 = -\frac{25\pi}{6}, \qquad x_2 = -\frac{10\pi}{3}

Условие $\sin x \neq 0$ выполнено для всех этих значений.

б) Для первой серии $- \frac{17 π}{4} ⩽ - \frac{π}{6} + π k ⩽ - \frac{13 π}{4}$ даёт $k = - 4$ , то есть $x = - \frac{25 π}{6}$ Для второй серии получаем $k = - 3$ , то есть $x = - \frac{π}{3} - 3 π = - \frac{10 π}{3}$

Задание 15

В основании прямой призмы $A B C D A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ лежит параллелограмм $A B C D$ . На рёбрах $A_{1} B_{1}$ , $B_{1} C_{1}$ и $B C$ отмечены точки $M$ , $K$ и $N$ соответственно, причём $B_{1} K : K C_{1} = 1 : 5$ . Четырёхугольник $A M K N$ — равнобедренная трапеция с основаниями 1 и 3.

а) Докажите, что точка $N$ — середина ребра $B C$

б) Найдите площадь трапеции $A M K N$ , если объём призмы равен 6, а её высота равна 2.

Решение и ответ

Обозначим $\vec{b} = \vec{A B}$ , $\vec{d} = \vec{A D}$ , $\vec{h} = \vec{A A_{1}}$ , причём $\vec{h} ⊥ \vec{b}$ , $\vec{h} ⊥ \vec{d}$ и $∣ \vec{h} ∣ = 2$ . Тогда

M = \vec{h} + m\vec{b}, \qquad K = \vec{b} + \vec{h} + \frac{1}{6}\vec{d}, \qquad N = \vec{b} + n\vec{d}

а) Плоскости оснований параллельны, поэтому у трапеции $A M K N$ параллельны именно $M K$ и $A N$ :

\overrightarrow{MK} = (1 – m)\vec{b} + \frac{1}{6}\vec{d}, \qquad \overrightarrow{AN} = \vec{b} + n\vec{d}

Из $\vec{M K} = λ \vec{A N}$ и отношения оснований $λ = \frac{1}{3}$ получаем

1−m= \frac{1}{3}, \qquad \frac{1}{6} = \frac{1}{3}n \implies n = \frac{1}{2}

то есть $N$ — середина $B C$ , что и требовалось.

б) Пусть $∣ \vec{b} ∣ = p$ , $∣ \vec{d} ∣ = q$ , угол между ними $φ$ . Боковые стороны равны:

AM^2=4+\frac{4}{9}p^2, \qquad KN^2=4+\frac{4}{9}p^2 \implies q=2p

Из $A N = 3$ и площади основания $S = \frac{V}{h} = \frac{6}{2} = 3$ :

AN^{2} = p^{2} + \frac{q^{2}}{4} + pq\cos\varphi = 2p^{2}(1 + \cos\varphi) = 9, \qquad pq\sin\varphi = 2p^{2}\sin\varphi = 3

Разделив первое на второе: $\frac{1 + \cos φ}{\sin φ} = 3$ sinφ, то есть $1 + \cos φ = 3 \sin φ$ .

Вместе с $\sin^{2} φ + \cos^{2} φ = 1$ получаем $\sin φ = 0,6$ , $\cos φ = 0,8$ и $2 p^{2} = 5$ .

Высота трапеции с основаниями 3 и 1 и боковой стороной $A M$ :

AM^2=4+ \frac{4}{9} \cdot \frac{5}{2}= \frac{46}{9}, \qquad H^{2} = AM^{2} – \left(\frac{3 – 1}{2}\right)^{2} = \frac{46}{9} – 1 = \frac{37}{9}, \qquad H = \frac{\sqrt{37}}{3}

S_{AMKN} = \frac{3 + 1}{2}\cdot H = \frac{2\sqrt{37}}{3}

Задание 16

Решите неравенство $\frac{5 – x}{x – 6} \leqslant \frac{1}{2 – x}$ .

Решение и ответ

Перенесём всё влево, заменив $\frac{1}{2-x} = \frac{1}{x-2}$

\frac{5 – x}{x – 6} +\frac{1}{2 – x} \leqslant 0 \implies \frac{(5 – x)(x – 2) + (x – 6)}{(x – 6)(x – 2)} \leqslant 0

Числитель: $(5 - x) (x - 2) + (x - 6) = - x^{2} + 7 x - 10 + x - 6 = - (x^{2} - 8 x + 16) = - (x - 4)^{2}$ . Значит,

\frac{-(x – 4)^{2}}{(x – 6)(x – 2)} \leqslant 0 \iff \frac{(x – 4)^{2}}{(x – 6)(x – 2)} \geqslant 0

Числитель неотрицателен всегда, поэтому неравенство выполнено, если знаменатель положителен ( $x < 2$ или $x > 6$ ) либо числитель равен нулю ( $x = 4$ , знаменатель при этом не равен нулю).

Задание 17

Источник постоянного напряжения имеет электродвижущую силу $ε = 50$ В и внутреннее сопротивление $r = 10$ Ом. Сила тока в цепи при подключении к этому источнику нагрузки определяется законом Ома:

$I = \frac{ε}{r + R},$

где $R$ — сопротивление нагрузки (в омах). Тепловая мощность в ваттах, выделяемая на нагрузке, равна $P = I^{2} R$ (закон Джоуля—Ленца). При каком сопротивлении нагрузки $R$ выделяемая на нагрузке тепловая мощность $P$ наибольшая?

Решение и ответ

P = \frac{\varepsilon^{2}R}{(r + R)^{2}} = \frac{\varepsilon^{2}}{\left(\sqrt{R} + \dfrac{r}{\sqrt{R}}\right)^{2}}

Мощность наибольшая, когда знаменатель наименьший. По неравенству о средних.

\sqrt{R} + \frac{r}{\sqrt{R}} \geqslant 2\sqrt{r}, \qquad R = r = 10

причём равенство достигается при $\sqrt{R} = \frac{r}{\sqrt{R}}$ , то есть при $R = r = 10$ .

Задание 18

Окружность с центром в точке $O$ касается сторон угла с вершиной $N$ в точках $A$ и $B$ . Отрезок $B C$ — диаметр этой окружности.

а) Докажите, что прямая $A C$ параллельна биссектрисе угла $A N B$ .

б) Найдите длину отрезка $N O$ , если известно, что $A C = 18$ и $A B = 24$ .

Решение и ответ

а) Отрезки касательных из одной точки равны: $N A = N B$ , поэтому треугольник $A N B$ равнобедренный, и биссектриса угла $N$ является его высотой, то есть $N O ⊥ A B$ . С другой стороны, угол $B A C$ опирается на диаметр $B C$ , значит $∠ B A C = 90^{\circ}$ и $A C ⊥ A B$ Две прямые, перпендикулярные одной и той же прямой $A B$ , параллельны, поэтому $A C ∥ N O$ .

б) Из прямоугольного треугольника $B A C$ :

BC = \sqrt{AC^{2} + AB^{2}} = \sqrt{324 + 576} = 30, \qquad R = \frac{BC}{2} = 15

Пусть $H$ — точка пересечения $N O$ и $A B$ ; это середина $A B$ , значит $A H = 12$ . Из треугольника $A O H$ : $O H = \sqrt{15^{2} - 12^{2}} = 9$ . В прямоугольном треугольнике $N A O$ (угол $A$ прямой, так как $O A ⊥ N A$ ) отрезок $A H$ — высота к гипотенузе, поэтому

OA^{2} = OH\cdot ON \implies 225 = 9\cdot ON \implies ON = 25

Задание 19

Найдите все значения $a$ a, при каждом из которых уравнение

$\left(x^{2} – 4x\right)a^{2} + \left(x^{4} – 4x^{3} – 64x + 256\right)a – 64x^{3} + 256x^{2} = 0$ имеет ровно два различных корня.

Решение и ответ

Разложим коэффициенты на множители:

x^2-4x=x(x-4), \qquad -64x^3+256x^2=-64x^2(x-4)

x^4-4x^3=64x+256=x^3(x-4)-64(x-4)=(x-4)(x^3-64)

Вынесем $(x-4):$

(x-4)[a^2x+a(x^3-64)-64x^2]=0

Квадратная скобка группируется:

a^2x+ax^3-64a-64x^2=ax(a+x^2)-64(a+x^2)=(x^2+a)(ax-64)

Итого уравнение равносильно

(x – 4)\left(x^{2} + a\right)(ax – 64) = 0

Корень $x = 4$ есть всегда. Разберём случаи.

$a > 0$ : $x^{2} + a > 0$ корней не даёт, остаётся $x = \frac{64}{a}$ . Корней ровно два, если $\frac{64}{a} \neq 4$ , то есть $a \neq 16$ .

$a = 0$ : уравнение принимает вид $(x - 4) x^{2} \cdot (- 64) = 0$ — корни 4 и 0, ровно два. Подходит.

$a < 0$ : появляются корни $x = \pm \sqrt{- a}$ и $x = \frac{64}{a} < 0$ . Вместе с $x = 4$ это не менее трёх различных чисел, кроме случая, когда они попарно совпадают. Совпадение возможно лишь при $\sqrt{- a} = 4$ , то есть $a = - 16$ : тогда корни 4, −4 и $\frac{64}{- 16} = - 4$ — ровно два различных.

Ответ: $\{-16\} \cup [0;\,16) \cup (16;\,+\infty)$

Задание 20

Есть 10 монет по 2 рубля и 33 монеты по 5 рублей.

а) Можно ли этими монетами набрать сумму 183 рубля?

б) Можно ли этими монетами набрать сумму 184 рубля?

в) Какое наименьшее количество монет, каждая по 1 рублю, нужно добавить, чтобы иметь возможность набрать любую целую сумму от 1 рубля до 190 рублей включительно?

Решение и ответ

а) $183 = 5 \cdot 33 + 2 \cdot 9$ — используем все пятирублёвые и девять двухрублёвых монет. Да.

б) Пусть $2 x + 5 y = 184$ , где $0 ⩽ x ⩽ 10$ , $0 ⩽ y ⩽ 33$ . Число 184 чётно, значит $5 y$ чётно, то есть $y$ чётно и $y ⩽ 32$ . Тогда

2x = 184 – 5y \geqslant 184 – 160 = 24 \implies x \geqslant 12 > 10

Противоречие, поэтому набрать 184 рубля нельзя.

в) Всего имеющиеся монеты дают $2 \cdot 10 + 5 \cdot 33 = 185$ рублей. Чтобы набрать 190 рублей, нужно добавить не менее $190 - 185 = 5$ рублей, то есть не менее пяти монет.

Пяти монет достаточно: рублёвыми монетами (их 5) получаем любой остаток от деления на 5, пятирублёвыми — любое число, кратное 5, до 165, а двухрублёвые (до 20 рублей) покрывают недостающее. Прямой перебор подтверждает, что с набором 10 двухрублёвых, 33 пятирублёвых и 5 рублёвых монет составляется любая сумма от 1 до 190 рублей.

Ответ: а) да; б) нет; в) 5