cos⁡φ=a→⋅b→|a→|⋅|b→|\cos\varphi = \frac{\vec a\cdot\vec b}{|\vec a|\cdot|\vec b|} a→⋅b→=2⋅(−6)+6⋅(−2)=−24\vec a\cdot\vec b = 2\cdot(-6) + 6\cdot(-2) = -24 |a→|=22+62=40,|b→|=(−6)2+(−2)2=40|\vec a| = \sqrt{2^2+6^2} = \sqrt{40},\qquad |\vec b| = \sqrt{(-6)^2+(-2)^2} = \sqrt{40} cos⁡φ=−2440⋅40=−2440=−0,6\cos\varphi = \frac{-24}{\sqrt{40}\cdot\sqrt{40}} = \frac{-24}{40} = -0{,}6

Sсф=4πR2=132⟹πR2=33S_{\text{сф}} = 4\pi R^2 = 132 \quad\Longrightarrow\quad \pi R^2 = 33 Sсеч=πR2=33S_{\text{сеч}} = \pi R^2 = 33

Математическое ожидание равно сумме произведений значений на их вероятности. Проще посчитать общую сумму выигрышей и разделить на число билетов. M(X)=∑ixipi=100⋅100+500⋅50+1000⋅10+50000⋅2+100000⋅110000M(X) = \sum_i x_i p_i = \frac{100\cdot100 + 500\cdot50 + 1000\cdot10 + 50\,000\cdot2 + 100\,000\cdot1}{10\,000} M(X)=24500010000=24,5M(X) = \frac{245\,000}{10\,000} = 24{,}5

Все корни арифметические, поэтому выражение можно свести под один корень: 1,8⋅2,40,48=1,8⋅2,40,48=4,320,48=9=3\frac{\sqrt{1{,}8}\cdot\sqrt{2{,}4}}{\sqrt{0{,}48}} = \sqrt{\frac{1{,}8\cdot 2{,}4}{0{,}48}} = \sqrt{\frac{4{,}32}{0{,}48}} = \sqrt{9} = 3

Функция возрастает на тех промежутках, где график идёт вверх при движении слева направо. По рисунку точки экстремума: минимум между x = 2 и x = 3 (примерно в x = 2,5), максимум в x = 5, минимум в x = 7, максимум в x = 8, минимум в x = 11. f возрастает на (2,5;5) ∪ (7;8) ∪ (11;12)f\ \text{возрастает на } (2{,}5;\,5)\ \cup\ (7;\,8)\ \cup\ (11;\,12) Целые точки внутри этих промежутков: на (2,5; 5) — это x = 3 и x = 4; на (7; 8) целых точек нет; на (11; 12) целых точек нет (точка 12 не входит в область определения). x∈{3;4}⟹N=2x \in \{3;\,4\} \quad\Longrightarrow\quad N = 2

Подставляем данные в формулу: 30t+3t22=1200⟹1,5t2+30t−1200=0⟹t2+20t−800=030t + \frac{3t^2}{2} = 1200 \;\Longrightarrow\; 1{,}5t^2 + 30t - 1200 = 0 \;\Longrightarrow\; t^2 + 20t - 800 = 0 D=202+4⋅800=3600,t=−20±602D = 20^2 + 4\cdot800 = 3600,\qquad t = \frac{-20 \pm 60}{2} t1=20,t2=−40(не подходит)⟹t=20t_1 = 20,\quad t_2 = -40 \;\text{(не подходит)} \;\Longrightarrow\; t = 20

Разбор тренировочной работы №1 Статград по профильной математике

Q: Решение

7−x=26=64⟹x=7−64=−577 - x = 2^6 = 64 \quad\Longrightarrow\quad x = 7 - 64 = -57 Проверка ОДЗ: 7 − (−57) = 64 > 0 — корень подходит.

ВАРИАНТ МА2610111

Задание 1

Средняя линия трапеции равна 5, а меньшее основание равно 2. Найдите большее основание трапеции.

Ответ: 8

Решение

Средняя линия трапеции равна полусумме оснований: m = (a + b) / 2. Подставляем известные значения: 5 = (2 + b) / 2, отсюда 2 + b = 10 и b = 8.

Задание 2

Даны векторы $\vec a(2;\,6), \vec b(-6;\,-2)$ . Найдите косинус угла между ними.

Ответ: -0,6

Решение

\cos\varphi = \frac{\vec a\cdot\vec b}{|\vec a|\cdot|\vec b|}

\vec a\cdot\vec b = 2\cdot(-6) + 6\cdot(-2) = -24

|\vec a| = \sqrt{2^2+6^2} = \sqrt{40},\qquad |\vec b| = \sqrt{(-6)^2+(-2)^2} = \sqrt{40}

\cos\varphi = \frac{-24}{\sqrt{40}\cdot\sqrt{40}} = \frac{-24}{40} = -0{,}6

Задание 3

Площадь поверхности шара равна 132. Найдите площадь сечения шара плоскостью, проходящей через его центр.

Ответ: 33

Решение

S_{\text{сф}} = 4\pi R^2 = 132 \quad\Longrightarrow\quad \pi R^2 = 33

S_{\text{сеч}} = \pi R^2 = 33

Задание 4

В сборнике билетов по физике всего 20 билетов, в 6 из них встречается вопрос по разделу «Электростатика». Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику достанется вопрос по разделу «Электростатика».

Ответ: 0,3

Решение

Классическое определение вероятности: отношение числа благоприятных исходов к общему числу исходов.

P = \frac{m}{n} = \frac{6}{20} = 0{,}3

Задание 5

При подозрении на наличие некоторого заболевания пациента отправляют на ПЦР-тест. Если заболевание действительно есть, то тест подтверждает его в 99 % случаев. Если заболевания нет, то тест выявляет отсутствие заболевания в среднем в 89 % случаев. Известно, что в среднем тест оказывается положительным у 15 % пациентов, направленных на тестирование. При обследовании некоторого пациента врач направил его на ПЦР-тест, который оказался положительным. Какова вероятность того, что пациент действительно имеет это заболевание?

Ответ: 0,3

Решение

Обозначим: B — «пациент болен», «+» — «тест положительный». По условию:

P(+\mid B) = 0{,}99,\qquad P(+\mid \overline B) = 1-0{,}89 = 0{,}11,\qquad P(+) = 0{,}15

Обозначим p = P(B). По формуле полной вероятности:

P(+) = P(B)\,P(+\mid B) + P(\overline B)\,P(+\mid\overline B)

0{,}99p + 0{,}11(1-p) = 0{,}15 \;\Longrightarrow\; 0{,}88p = 0{,}04 \;\Longrightarrow\; p = \tfrac{1}{22}

По формуле Байеса:

P(B\mid +) = \frac{P(B)\,P(+\mid B)}{P(+)} = \frac{\tfrac{1}{22}\cdot 0{,}99}{0{,}15} = \frac{0{,}045}{0{,}15} = 0{,}3

Задание 6

Всего выпущено 10 000 лотерейных билетов. Сумма выигрышей и число выигрышных билетов показаны в таблице.

Выигрыш	100 р.	500 р.	1000 р.	50 тыс. р.	100 тыс. р.
Число выигрышных билетов	100	50	10	2	1

Найдите математическое ожидание случайной величины «выигрыш на один билет», который получит один случайный покупатель лотерейного билета. Ответ дайте в рублях.

Ответ: 24,5

Решение

Математическое ожидание равно сумме произведений значений на их вероятности. Проще посчитать общую сумму выигрышей и разделить на число билетов.

M(X) = \sum_i x_i p_i = \frac{100\cdot100 + 500\cdot50 + 1000\cdot10 + 50\,000\cdot2 + 100\,000\cdot1}{10\,000}

M(X) = \frac{245\,000}{10\,000} = 24{,}5

Задание 7

Найдите корень уравнения $\log_2(7-x) = 6$

Ответ: -57

Решение

7 – x = 2^6 = 64 \quad\Longrightarrow\quad x = 7 – 64 = -57

Проверка ОДЗ: 7 − (−57) = 64 > 0 — корень подходит.

Задание 8

Найдите значение выражения $\frac{\sqrt{1{,}8}\cdot\sqrt{2{,}4}}{\sqrt{0{,}48}}$

Ответ: 3

Решение

Все корни арифметические, поэтому выражение можно свести под один корень:

\frac{\sqrt{1{,}8}\cdot\sqrt{2{,}4}}{\sqrt{0{,}48}} = \sqrt{\frac{1{,}8\cdot 2{,}4}{0{,}48}} = \sqrt{\frac{4{,}32}{0{,}48}} = \sqrt{9} = 3

Задание 9

На рисунке изображён график функции $y = f(x)$ , определённой на интервале $(-2;\,12)$ . Определите количество целых точек, в которых функция $f(x)$ возрастает.

Ответ: 2

Решение

Функция возрастает на тех промежутках, где график идёт вверх при движении слева направо. По рисунку точки экстремума: минимум между x = 2 и x = 3 (примерно в x = 2,5), максимум в x = 5, минимум в x = 7, максимум в x = 8, минимум в x = 11.

f\ \text{возрастает на } (2{,}5;\,5)\ \cup\ (7;\,8)\ \cup\ (11;\,12)

Целые точки внутри этих промежутков: на (2,5; 5) — это x = 3 и x = 4; на (7; 8) целых точек нет; на (11; 12) целых точек нет (точка 12 не входит в область определения).

x \in \{3;\,4\} \quad\Longrightarrow\quad N = 2

Задание 10

Для сматывания кабеля на заводе используют лебёдку, которая равноускоренно наматывает кабель на катушку. Угол поворота катушки, на который наматывается кабель, изменяется со временем по закону $\varphi = \omega t + \frac{\beta t^2}{2}$ , где t — время (в минутах) от начала работы лебёдки, $\omega = 30^\circ/\text{мин}$ — начальная угловая скорость вращения катушки, а $\beta = 3^\circ/\text{мин}^2$ — угловое ускорение, с которым наматывается кабель. Рабочий должен проверить ход его намотки не позже того момента, когда угол намотки $\varphi$ достигнет 1200°. Определите время после начала работы лебёдки, не позже которого рабочий должен проверить её работу. Ответ дайте в минутах.

Ответ: 20

Решение

Подставляем данные в формулу:

30t + \frac{3t^2}{2} = 1200 \;\Longrightarrow\; 1{,}5t^2 + 30t – 1200 = 0 \;\Longrightarrow\; t^2 + 20t – 800 = 0

D = 20^2 + 4\cdot800 = 3600,\qquad t = \frac{-20 \pm 60}{2}

t_1 = 20,\quad t_2 = -40 \;\text{(не подходит)} \;\Longrightarrow\; t = 20

Задание 11

Из пункта A в пункт B, расстояние между которыми 50 км, одновременно выехали автомобилист и велосипедист. Известно, что в час автомобилист проезжает на 25 км больше, чем велосипедист. Определите скорость велосипедиста, если известно, что он прибыл в пункт B на 2 часа 5 минут позже автомобилиста. Ответ дайте в км/ч.

Ответ: 15

Решение

Пусть v — скорость велосипедиста (км/ч), тогда скорость автомобилиста v + 25.

\frac{50}{v} – \frac{50}{v+25} = \frac{25}{12}

\frac{50\cdot 25}{v(v+25)} = \frac{25}{12} \;\Longrightarrow\; v^2 + 25v – 600 = 0

D = 25^2 + 4\cdot600 = 3025,\qquad v = \frac{-25 \pm 55}{2}

v_1 = 15,\quad v_2 = -40\;\text{(не подходит)} \;\Longrightarrow\; v = 15

Задание 12

На рисунке изображены графики функций $f(x) = 3x + 5, g(x) = ax^2 + bx + c$ , которые пересекаются в точках A и B. Найдите абсциссу точки B.

Ответ: -7

Решение

По рисунку парабола проходит через узлы сетки (−5; −2), (−3; 4) и (−1; 2). Подставляем их в $g(x) = ax² + bx + c$ :

\begin{cases} 25a – 5b + c = -2\\ 9a – 3b + c = 4\\ a – b + c = 2 \end{cases}

Вычитая уравнения попарно, получаем 8a − b = −3 и 4a − b = 1, откуда 4a = −4, то есть

a = -1,\quad b = -5,\quad c = -2 \qquad\Longrightarrow\qquad g(x) = -x^2 – 5x – 2

Абсциссы точек пересечения находим из уравнения $f(x) = g(x)$ :

3x + 5 = -x^2 – 5x – 2 \;\Longrightarrow\; x^2 + 8x + 7 = 0

(x+1)(x+7) = 0 \;\Longrightarrow\; x_1 = -1,\quad x_2 = -7

На рисунке точка A отмечена с абсциссой −1 (это видно по графику: A = (−1; 2)). Значит, абсцисса точки B равна −7.

Задание 13

В июле 2030 года планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг увеличивается на 10 % по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.
Сколько рублей планируется взять в банке, если известно, что кредит будет полностью погашен тремя равными платежами (то есть за три года) и общая сумма выплат после полного погашения кредита будет на 40 980 рублей больше суммы, взятой в кредит?

Ответ: 198600

Решение

Пусть S — сумма кредита, x — размер каждого из трёх равных платежей.
После первого года: $(1,1S − x)$ ; после второго: $1,1(1,1S − x) − x$ ; после третьего долг равен нулю:

1{,}1^3 S = x\left(1{,}1^2 + 1{,}1 + 1\right) \;\Longrightarrow\; 1{,}331\,S = 3{,}31\,x \;\Longrightarrow\; x = \frac{1{,}331\,S}{3{,}31}

Общая сумма выплат 3x больше S на 40 980 рублей:

3x – S = 40\,980 \;\Longrightarrow\; \frac{3\cdot 1{,}331\,S}{3{,}31} – S = 40\,980

\frac{3{,}993 – 3{,}31}{3{,}31}\,S = 40\,980 \;\Longrightarrow\; \frac{0{,}683}{3{,}31}\,S = 40\,980

S = \frac{40\,980\cdot 3{,}31}{0{,}683} = 198\,600

Задание 14

а) Решите уравнение $\frac{\sqrt3}{\sin x} = 4\sin\!\left(\frac{3\pi}{2} – x\right)$

б) Укажите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[-\frac{21\pi}{4};\, -\frac{17\pi}{4}\right]$

Ответ: $\text{а)}\ x = -\frac{\pi}{6} + \pi n,\ \ x = -\frac{\pi}{3} + \pi n,\ n\in\mathbb{Z};\qquad \text{б)}\ -\frac{31\pi}{6};\ -\frac{13\pi}{3}$

Задание 15

В основании прямой призмы ABCDA₁B₁C₁D₁ лежит параллелограмм ABCD. На рёбрах A₁B₁, B₁C₁ и BC отмечены точки M, K и N соответственно, причём $B_1K : KC_1 = 2 : 3, V = 45, h = 3$ . Четырёхугольник AMKN — равнобедренная трапеция с основаниями 4 и 5.

а) Докажите, что точка N — середина ребра BC.
б) Найдите площадь трапеции AMKN, если объём призмы равен 45, а её высота равна 3.

Ответ: б) $\frac{27\sqrt{101}}{20} = 1{,}35\sqrt{101} \approx 13{,}57$

Задание 16

Решите неравенство $\frac{6-x}{x-10} \le \frac{1}{1-x}$ .

Ответ: $(-\infty;\,1) \cup \{4\} \cup (10;\,+\infty)$

Задание 17

Источник постоянного напряжения имеет электродвижущую силу $\varepsilon = 40\ \text{В}$ и внутреннее сопротивление $r = 2\ \text{Ом}$ . Сила тока в цепи при подключении к этому источнику нагрузки определяется законом Ома: $I = \frac{\varepsilon}{r+R}$ , где R — сопротивление нагрузки (в омах). Тепловая мощность в ваттах, выделяемая на нагрузке, равна $P = I^2 R$ (закон Джоуля—Ленца). При каком сопротивлении нагрузки R выделяемая тепловая мощность P наибольшая?.

Ответ: 2

Задание 18

Окружность с центром в точке O касается сторон угла с вершиной N в точках A и B. Отрезок BC — диаметр этой окружности.
а) Докажите, что прямая AC параллельна биссектрисе угла ANB.
б) Найдите длину отрезка NO, если известно, что AC = 12 и AB = 16.

Ответ: б) NO = 50/3 ≈ 16,67

Задание 19

Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение $(x^2+x)a^2 + (x^4+x^3+x+1)a + x^3 + x^2 = 0$ имеет ровно два различных корня.

Ответ: $\{-1\} \cup [0;\,1) \cup (1;\,+\infty)$

Задание 20

Есть 14 монет по 2 рубля и 27 монет по 5 рублей.
а) Можно ли этими монетами набрать сумму 161 рубль?
б) Можно ли этими монетами набрать сумму 162 рубля?
в) Какое наименьшее количество монет, каждая по 1 рублю, нужно добавить, чтобы иметь возможность набрать любую целую сумму от 1 рубля до 170 рублей включительно?

Ответ: а) да; б) нет; в) 7