Сначала складываем в знаменателе: 1+18=88+18=981 + \frac{1}{8} = \frac{8}{8} + \frac{1}{8} = \frac{9}{8} Деление на дробь — это умножение на обратную: 0,998=0,9⋅89=0,99⋅8=0,1⋅8=0,8\frac{0{,}9}{\frac{9}{8}} = 0{,}9\cdot\frac{8}{9} = \frac{0{,}9}{9}\cdot 8 = 0{,}1\cdot 8 = 0{,}8

2x−10=x+52x - 10 = x + 5 2x−x=5+102x - x = 5 + 10 x=15x = 15

В событие B ведут две ветки дерева: через A и через Ā. Вероятность каждого пути — произведение чисел на его рёбрах, а вероятность события B — сумма этих произведений. P(B)=P(A)⋅P(B|A)+P(A)⋅P(B|A)P(B) = P(A)\cdot P(B\mid A) + P(\overline{A})\cdot P(B\mid \overline{A}) P(B)=0,25⋅0,2+0,75⋅0,6=0,05+0,45=0,5P(B) = 0{,}25\cdot 0{,}2 + 0{,}75\cdot 0{,}6 = 0{,}05 + 0{,}45 = 0{,}5

Подставляем данные в формулу: F=1000⋅9,8⋅0,5=9800⋅0,5=4900 (Н)F = 1000\cdot 9{,}8\cdot 0{,}5 = 9800\cdot 0{,}5 = 4900\ \text{(Н)}

Пути за каждую секунду образуют арифметическую прогрессию с первым членом 20 и разностью −4. Автомобиль останавливается, когда путь за секунду становится равным нулю. a1=20,a2=16,a3=12,a4=8,a5=4,a6=0a_1 = 20,\quad a_2 = 16,\quad a_3 = 12,\quad a_4 = 8,\quad a_5 = 4,\quad a_6 = 0 Значит движение длится 5 секунд. Складываем: S5=20+16+12+8+4=60 (м)S_5 = 20 + 16 + 12 + 8 + 4 = 60\ \text{(м)} Тот же результат по формуле суммы: S5=a1+a52⋅5=20+42⋅5=60S_5 = \frac{a_1 + a_5}{2}\cdot 5 = \frac{20 + 4}{2}\cdot 5 = 60

Треугольник ABM равнобедренный (AM = BM), поэтому углы при основании AB равны: ∠BAM=∠ABM=∠A\angle BAM = \angle ABM = \angle A Треугольник BMC тоже равнобедренный (BM = MC), поэтому: ∠MBC=∠C=66∘\angle MBC = \angle C = 66^\circ Записываем сумму углов треугольника ABC: ∠A+(∠A+66∘)+66∘=180∘\angle A + \left(\angle A + 66^\circ\right) + 66^\circ = 180^\circ 2∠A=48∘⟹∠A=24∘2\angle A = 48^\circ \;\Longrightarrow\; \angle A = 24^\circ

В равнобедренной трапеции углы при основании AD равны: ∠BAD=∠ADC=58∘\angle BAD = \angle ADC = 58^\circ AC — биссектриса угла BAD, значит она делит его пополам: ∠CAD=58∘2=29∘\angle CAD = \frac{58^\circ}{2} = 29^\circ В треугольнике ACD сумма углов равна 180°: ∠ACD=180∘−∠CAD−∠ADC=180∘−29∘−58∘=93∘\angle ACD = 180^\circ - \angle CAD - \angle ADC = 180^\circ - 29^\circ - 58^\circ = 93^\circ

Истинно. В параллелограмме противоположные углы равны — таких пар даже две. Ложно. Медианой является только биссектриса, проведённая из вершины между боковыми сторонами. Биссектрисы из двух других вершин медианами не являются. Ложно. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов: S=12abS = \frac{1}{2}ab

Переносим всё в левую часть и выносим общий множитель: x3−4x2+2x=0x^3 - 4x^2 + 2x = 0 x(x2−4x+2)=0x\left(x^2 - 4x + 2\right) = 0 Произведение равно нулю, когда хотя бы один множитель равен нулю. x1=0x_1 = 0 Решаем квадратное уравнение x2−4x+2=0:x² − 4x + 2 = 0: D=(−4)2−4⋅1⋅2=16−8=8D = (-4)^2 - 4\cdot 1\cdot 2 = 16 - 8 = 8 x=4±82=4±222=2±2x = \frac{4 \pm \sqrt{8}}{2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{2}}{2} = 2 \pm \sqrt{2}

Раскрываем модуль по определению — получаем кусочно-заданную функцию. При x ≥ 0: |x| = x, поэтому y = x·x + x − 5x = x² − 4x.При x < 0: |x| = −x, поэтому y = −x² − x − 5x = −x² − 6x. y={x2−4x,x≥0,−x2−6x,x<0.y = \begin{cases} x^2 - 4x, & x \ge 0, \\ -x^2 - 6x, & x < 0. \end{cases} Первая ветвь — часть параболы ветвями вверх при x ≥ 0. Её вершина: x0=42=2,y0=22−4⋅2=−4x_0 = \frac{4}{2} = 2,\qquad y_0 = 2^2 - 4\cdot 2 = -4 Вторая ветвь — часть параболы ветвями вниз при x 9 — прямая проходит выше вершины левой ветви: 1 точка (только на правой ветви); m = 9 — прямая касается вершины левой ветви: 1 + 1 = 2 точки; −4 < m < 9 — 3 точки; m = −4 — прямая проходит через вершину правой ветви: 1 + 1 = 2 точки; m < −4 — 1 точка (только на левой ветви). Ровно две общие точки получаются в двух случаях — когда прямая проходит через вершину одной из ветвей. m=−4илиm=9m = -4 \quad \text{или} \quad m = 9

BC ∥ AD, значит углы KAD и AKB — накрест лежащие при секущей AK, они равны. ∠AKB=∠KAD\angle AKB = \angle KAD AK — биссектриса угла A, поэтому ∠KAD = ∠BAK. Отсюда: ∠AKB=∠BAK\angle AKB = \angle BAK Значит треугольник ABK равнобедренный, и AB = BK = 6. BC=BK+KC=6+10=16BC = BK + KC = 6 + 10 = 16 P=2(AB+BC)=2(6+16)=44P = 2\left(AB + BC\right) = 2\left(6 + 16\right) = 44

Так как BC ∥ AD и AB ⊥ BC, то AB ⊥ AD — трапеция прямоугольная, и AB перпендикулярна обоим основаниям. Пусть P — основание перпендикуляра, опущенного из E на прямую CD. Нужно найти EP. По свойству угла между касательной и хордой (он равен вписанному углу, опирающемуся на эту хорду): ∠BEC=∠EDC,∠AED=∠ECD\angle BEC = \angle EDC, \qquad \angle AED = \angle ECD Треугольники EBC и DPE прямоугольные (углы при B и P прямые) и имеют равные острые углы, значит они подобны: △EBC∼△DPE⟹BCPE=EBDP=ECDE\triangle EBC \sim \triangle DPE \;\Longrightarrow\; \frac{BC}{PE} = \frac{EB}{DP} = \frac{EC}{DE} Аналогично подобны треугольники EAD и CPE: △EAD∼△CPE⟹ADPE=EACP=EDCE\triangle EAD \sim \triangle CPE \;\Longrightarrow\; \frac{AD}{PE} = \frac{EA}{CP} = \frac{ED}{CE} Из первых пропорций: PE·EB = BC·DP, из вторых: PE·EA = AD·CP. Перемножим: PE2⋅EA⋅EB=BC⋅AD⋅CP⋅DPPE^2\cdot EA\cdot EB = BC\cdot AD\cdot CP\cdot DP А из отношений EC/DE и ED/CE получаем DP·CP = EB·EA. Подставляем и сокращаем: PE2=BC⋅ADPE^2 = BC\cdot AD Это и есть ключевой факт: расстояние от точки касания до прямой CD — среднее геометрическое оснований трапеции. Подставляем числа: PE=BC⋅AD=15⋅20=300=103≈17,32PE = \sqrt{BC\cdot AD} = \sqrt{15\cdot 20} = \sqrt{300} = 10\sqrt{3} \approx 17{,}32

Разбор тренировочной работы №1 Статград ОГЭ по математике

Q: Решение

Егорка — 2, Доломино — 3, Ванютино — 4. На шоссе точки идут в порядке Егорка — Доломино — Ванютино, то есть Доломино лежит между Егоркой и Ванютино. По условию Егорка → Ванютино = 12 км, Доломино → Егорка = 4 км. Значит:: DV=EV−ED=12−4=8 (км)DV = EV - ED = 12 - 4 = 8\ \text{(км)}

Q: Решение

Доломино (3), Ванютино (4) и Горюново (6) образуют прямоугольный треугольник: в Ванютине два шоссе пересекаются под прямым углом. Катеты: Доломино → Ванютино = 8 км (см. задание 2) и Ванютино → Горюново = 15 км. Расстояние по прямой — гипотенуза: 82+152=64+225=289=17 (км)\sqrt{8^2 + 15^2} = \sqrt{64 + 225} = \sqrt{289} = 17\ \text{(км)}

Q: Решение

Маршрут состоит из трёх участков: шоссе Антоновка → Доломино, просёлочная дорога Доломино → Горюново, шоссе Горюново → Богданово. 1) Шоссе Антоновка → Доломино = 12 км (дано в условии).2) Просёлочная дорога Доломино → Горюново = 17 км (см. задание 3).3) Шоссе Горюново → Богданово. От Ванютина до Богданова по шоссе 9 + 12 = 21 км, а от Ванютина до Горюнова — 15 км, поэтому: 21−15=6 (км)21 - 15 = 6\ \text{(км)} Считаем время: по шоссе скорость 50 км/ч, по просёлочной дороге — 30 км/ч. t1=1250⋅60=14,4 (мин)t_1 = \frac{12}{50}\cdot 60 = 14{,}4\ \text{(мин)} t2=1730⋅60=34 (мин)t_2 = \frac{17}{30}\cdot 60 = 34\ \text{(мин)} t3=650⋅60=7,2 (мин)t_3 = \frac{6}{50}\cdot 60 = 7{,}2\ \text{(мин)} t=14,4+34+7,2=55,6 (мин)t = 14{,}4 + 34 + 7{,}2 = 55{,}6\ \text{(мин)}

Q: Решение

Путь через Ванютино целиком идёт по шоссе: Антоновка → Ванютино = 8 + 4 + 8 = 20 км и Ванютино → Богданово = 9 + 12 = 21 км. Sшоссе=20+21=41 (км)S_{\text{шоссе}} = 20 + 21 = 41\ \text{(км)} Путь напрямик — это просёлочная дорога Антоновка → Богданово мимо реки. Она гипотенуза прямоугольного треугольника Антоновка — Ванютино — Богданово с катетами 20 км и 21 км: Sпрос=202+212=400+441=841=29 (км)S_{\text{прос}} = \sqrt{20^2 + 21^2} = \sqrt{400 + 441} = \sqrt{841} = 29\ \text{(км)} Пусть на просёлочных дорогах расход равен xx литров на 100 км. Объёмы бензина равны: 41⋅5,8100=29x100\frac{41\cdot 5{,}8}{100} = \frac{29x}{100} x=41⋅5,829=237,829=8,2x = \frac{41\cdot 5{,}8}{29} = \frac{237{,}8}{29} = 8{,}2

Q: Решение

Точка A лежит между 6 и 7, причём почти вплотную к 6. Возводим границы в квадрат: 6=36,7=496 = \sqrt{36},\qquad 7 = \sqrt{49} Значит подходят только числа, подкоренное выражение которых между 36 и 49: √37 и √47. Но точка А находится ближе к 6, а значит, берем меньшее значение.

Q: Решение

Сворачиваем произведения степеней с одинаковым основанием: показатели складываются. 22⋅26=28,2⋅28=292^2\cdot 2^6 = 2^{8},\qquad 2\cdot 2^8 = 2^{9} При возведении степени в степень показатели перемножаются, при делении — вычитаются: (28)5(29)4=240236=24=16\frac{\left(2^8\right)^5}{\left(2^9\right)^4} = \frac{2^{40}}{2^{36}} = 2^{4} = 16

Q: Решение

Смотрим на знак коэффициента при x². Если он положительный — ветви вверх, если отрицательный — вниз. В формуле 3) коэффициент 2 > 0, ветви вверх. Такой график только один — А). Значит А — 3.В формулах 1) и 2) коэффициент −2 02)x0=−−62⋅(−2)=−1,5 0 \qquad 2)\; x_0 = -\frac{-6}{2\cdot(-2)} = -1{,}5 < 0 У графика Б) вершина справа от оси Oy — это формула 1. У графика В) вершина слева от оси Oy — это формула 2.

ВАРИАНТ МА2690101

Прочитайте внимательно текст и выполните задания 1–5.

На рисунке изображён план сельской местности.

Таня на летних каникулах приезжает в гости к дедушке в деревню Антоновку (на плане обозначена цифрой 1). В конце каникул дедушка на машине собирается отвезти Таню на автобусную станцию, которая находится в деревне Богданово. Из Антоновки в Богданово можно проехать по просёлочной дороге мимо реки. Есть другой путь — по шоссе до деревни Ванютино, где нужно повернуть под прямым углом налево на другое шоссе, ведущее в Богданово. Третий маршрут проходит по просёлочной дороге мимо пруда до деревни Горюново, где можно свернуть на шоссе до Богданова. Четвёртый маршрут пролегает по шоссе до деревни Доломино, от Доломина до Горюнова по просёлочной дороге мимо конюшни и от Горюнова до Богданова по шоссе. Ещё один маршрут проходит по шоссе до деревни Егорки, по просёлочной дороге мимо конюшни от Егорки до Жилина и по шоссе от Жилина до Богданова.

Шоссе и просёлочные дороги образуют прямоугольные треугольники.

По шоссе Таня с дедушкой едут со скоростью 50 км/ч, а по просёлочным дорогам — со скоростью 30 км/ч. Расстояние от Антоновки до Доломина равно 12 км, от Доломина до Егорки — 4 км, от Егорки до Ванютина — 12 км, от Горюнова до Ванютина — 15 км, от Ванютина до Жилина — 9 км, а от Жилина до Богданова — 12 км.

Задание 1

Пользуясь описанием, определите, какими цифрами на плане обозначены деревни. Заполните таблицу, в ответе запишите последовательность четырёх цифр без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

Деревни	Егорка	Ванютино	Доломино	Жилино
Цифры

Ответ: 2435

Задание 2

Найдите расстояние от Доломина до Ванютина по шоссе. Ответ дайте в километрах.

Ответ: 8

Решение

Егорка — 2, Доломино — 3, Ванютино — 4. На шоссе точки идут в порядке Егорка — Доломино — Ванютино, то есть Доломино лежит между Егоркой и Ванютино.

По условию Егорка → Ванютино = 12 км, Доломино → Егорка = 4 км. Значит::

DV = EV – ED = 12 – 4 = 8\ \text{(км)}

Задание 3

Найдите расстояние от Доломина до Горюнова по прямой. Ответ дайте в километрах.

Ответ: 17

Решение

Доломино (3), Ванютино (4) и Горюново (6) образуют прямоугольный треугольник: в Ванютине два шоссе пересекаются под прямым углом.

Катеты: Доломино → Ванютино = 8 км (см. задание 2) и Ванютино → Горюново = 15 км. Расстояние по прямой — гипотенуза:

\sqrt{8^2 + 15^2} = \sqrt{64 + 225} = \sqrt{289} = 17\ \text{(км)}

Задание 4

Сколько минут затратят Таня с дедушкой на дорогу из Антоновки в Богданово, если поедут через Доломино и Горюново мимо конюшни?

Ответ: 55,6

Решение

Маршрут состоит из трёх участков: шоссе Антоновка → Доломино, просёлочная дорога Доломино → Горюново, шоссе Горюново → Богданово.

1) Шоссе Антоновка → Доломино = 12 км (дано в условии).
2) Просёлочная дорога Доломино → Горюново = 17 км (см. задание 3).
3) Шоссе Горюново → Богданово. От Ванютина до Богданова по шоссе 9 + 12 = 21 км, а от Ванютина до Горюнова — 15 км, поэтому:

21 – 15 = 6\ \text{(км)}

Считаем время: по шоссе скорость 50 км/ч, по просёлочной дороге — 30 км/ч.

t_1 = \frac{12}{50}\cdot 60 = 14{,}4\ \text{(мин)}

t_2 = \frac{17}{30}\cdot 60 = 34\ \text{(мин)}

t_3 = \frac{6}{50}\cdot 60 = 7{,}2\ \text{(мин)}

t = 14{,}4 + 34 + 7{,}2 = 55{,}6\ \text{(мин)}

Задание 5

На шоссе машина дедушки расходует 5,8 литра бензина на 100 км. Известно, что на путь из Антоновки до Богданова через Ванютино и на путь напрямик ей необходим один и тот же объём бензина. Сколько литров бензина на 100 км машина дедушки расходует на просёлочных дорогах?

Ответ: 8,2

Решение

Путь через Ванютино целиком идёт по шоссе: Антоновка → Ванютино = 8 + 4 + 8 = 20 км и Ванютино → Богданово = 9 + 12 = 21 км.

S_{\text{шоссе}} = 20 + 21 = 41\ \text{(км)}

Путь напрямик — это просёлочная дорога Антоновка → Богданово мимо реки. Она гипотенуза прямоугольного треугольника Антоновка — Ванютино — Богданово с катетами 20 км и 21 км:

S_{\text{прос}} = \sqrt{20^2 + 21^2} = \sqrt{400 + 441} = \sqrt{841} = 29\ \text{(км)}

Пусть на просёлочных дорогах расход равен $x$ литров на 100 км. Объёмы бензина равны:

\frac{41\cdot 5{,}8}{100} = \frac{29x}{100}

x = \frac{41\cdot 5{,}8}{29} = \frac{237{,}8}{29} = 8{,}2

Задание 6

Найдите значение выражения:

\frac{0{,}9}{1 + \dfrac{1}{8}}

Ответ: 0,8

Решение

Сначала складываем в знаменателе:

1 + \frac{1}{8} = \frac{8}{8} + \frac{1}{8} = \frac{9}{8}

Деление на дробь — это умножение на обратную:

\frac{0{,}9}{\frac{9}{8}} = 0{,}9\cdot\frac{8}{9} = \frac{0{,}9}{9}\cdot 8 = 0{,}1\cdot 8 = 0{,}8

Задание 7

Одно из чисел $\sqrt{37},\quad \sqrt{47},\quad \sqrt{50},\quad \sqrt{62}$ отмечено на прямой точкой A. Какое это число?

√37
√47
√50
√62

Ответ: 1

Решение

Точка A лежит между 6 и 7, причём почти вплотную к 6. Возводим границы в квадрат:

6 = \sqrt{36},\qquad 7 = \sqrt{49}

Значит подходят только числа, подкоренное выражение которых между 36 и 49: √37 и √47. Но точка А находится ближе к 6, а значит, берем меньшее значение.

Задание 8

Найдите значение выражения:

\frac{\left(2^2\cdot 2^6\right)^5}{\left(2\cdot 2^8\right)^4}

Ответ: 16

Решение

Сворачиваем произведения степеней с одинаковым основанием: показатели складываются.

2^2\cdot 2^6 = 2^{8},\qquad 2\cdot 2^8 = 2^{9}

При возведении степени в степень показатели перемножаются, при делении — вычитаются:

\frac{\left(2^8\right)^5}{\left(2^9\right)^4} = \frac{2^{40}}{2^{36}} = 2^{4} = 16

Свойства степеней и корней

Забирай полезный файл со всеми свойствами степеней и корней

Забрать в тг

Задание 9

Решите уравнение:

2(x-5) = x+5

Ответ: 15

Решение

2x – 10 = x + 5

2x – x = 5 + 10

x = 15

Задание 10

На рисунке изображено дерево случайного опыта. Найдите вероятность события B.

Ответ: 0,5

Решение

В событие B ведут две ветки дерева: через A и через Ā. Вероятность каждого пути — произведение чисел на его рёбрах, а вероятность события B — сумма этих произведений.

P(B) = P(A)\cdot P(B\mid A) + P(\overline{A})\cdot P(B\mid \overline{A})

P(B) = 0{,}25\cdot 0{,}2 + 0{,}75\cdot 0{,}6 = 0{,}05 + 0{,}45 = 0{,}5

Задание 11

Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают.

1)\; y = -2x^2 + 6x – 2 \qquad 2)\; y = -2x^2 – 6x – 2 \qquad 3)\; y = 2x^2 + 6x + 2

Ответ: 312

Решение

Смотрим на знак коэффициента при x². Если он положительный — ветви вверх, если отрицательный — вниз.

В формуле 3) коэффициент 2 > 0, ветви вверх. Такой график только один — А). Значит А — 3.
В формулах 1) и 2) коэффициент −2 < 0, ветви вниз. Различаем их по абсциссе вершины:

x_0 = -\frac{b}{2a}

1)\; x_0 = -\frac{6}{2\cdot(-2)} = 1{,}5 > 0 \qquad 2)\; x_0 = -\frac{-6}{2\cdot(-2)} = -1{,}5 < 0

У графика Б) вершина справа от оси Oy — это формула 1. У графика В) вершина слева от оси Oy — это формула 2.

Задание 12

Сила Архимеда, выталкивающая на поверхность погружённое в воду тело, вычисляется по формуле F = ρgV, где ρ = 1000 кг/м³ — плотность воды, g = 9,8 м/с² — ускорение свободного падения, а V — объём тела в кубических метрах. Сила F измеряется в ньютонах. Найдите силу Архимеда, действующую на погружённое в воду тело объёмом 0,5 куб. м. Ответ дайте в ньютонах.

F = \rho g V

Ответ: 4900

Решение

Подставляем данные в формулу:

F = 1000\cdot 9{,}8\cdot 0{,}5 = 9800\cdot 0{,}5 = 4900\ \text{(Н)}

Задание 13

Укажите решение системы неравенств:

\begin{cases} -35 + 5x < 0, \\ 6 – 3x > -18. \end{cases}

(7; 8)
(−∞; 7)
(−∞; 8)
(7; +∞)

Ответ: 2

Решение

Решаем каждое неравенство отдельно.

-35 + 5x < 0 \;\Longrightarrow\; 5x < 35 \;\Longrightarrow\; x < 7

6 – 3x > -18 \;\Longrightarrow\; -3x > -24 \;\Longrightarrow\; x < 8

При делении на отрицательное число знак неравенства меняется. Пересечение двух промежутков — более узкий из них:

\begin{cases} x < 7 \\ x < 8 \end{cases} \;\Longrightarrow\; x \in (-\infty;\,7)

Задание 14

Водитель автомобиля начал торможение. За секунду после начала торможения автомобиль проехал 20 м, а за каждую следующую секунду он проезжал на 4 м меньше, чем за предыдущую. Сколько метров автомобиль прошёл до полной остановки?

Ответ: 60

Решение

Пути за каждую секунду образуют арифметическую прогрессию с первым членом 20 и разностью −4. Автомобиль останавливается, когда путь за секунду становится равным нулю.

a_1 = 20,\quad a_2 = 16,\quad a_3 = 12,\quad a_4 = 8,\quad a_5 = 4,\quad a_6 = 0

Значит движение длится 5 секунд. Складываем:

S_5 = 20 + 16 + 12 + 8 + 4 = 60\ \text{(м)}

Тот же результат по формуле суммы:

S_5 = \frac{a_1 + a_5}{2}\cdot 5 = \frac{20 + 4}{2}\cdot 5 = 60

Задание 15

В треугольнике ABC проведена медиана BM. Найдите градусную меру угла A, если ∠C = 66° и BM = AM = MC.

Ответ: 24

Решение

Треугольник ABM равнобедренный (AM = BM), поэтому углы при основании AB равны:

\angle BAM = \angle ABM = \angle A

Треугольник BMC тоже равнобедренный (BM = MC), поэтому:

\angle MBC = \angle C = 66^\circ

Записываем сумму углов треугольника ABC:

\angle A + \left(\angle A + 66^\circ\right) + 66^\circ = 180^\circ

2\angle A = 48^\circ \;\Longrightarrow\; \angle A = 24^\circ

Задание 16

Синус угла между стороной и диагональю прямоугольника равен 5/13. Диаметр описанной около него окружности равен 26. Найдите площадь прямоугольника.

Ответ: 240

Решение

Диагональ прямоугольника — диаметр описанной окружности, значит диагональ равна 26.

Диагональ делит прямоугольник на два прямоугольных треугольника. Катет, противолежащий данному углу, равен произведению гипотенузы на синус угла:

a = 26\cdot \frac{5}{13} = 10

Второй катет (вторую сторону прямоугольника) находим по теореме Пифагора:

b = \sqrt{26^2 – 10^2} = \sqrt{676 – 100} = \sqrt{576} = 24

S = a\cdot b = 10\cdot 24 = 240

Задание 17

В равнобедренной трапеции ABCD угол D равен 58°. Найдите градусную меру угла ACD, если луч AC является биссектрисой угла BAD.

Ответ: 93

Решение

В равнобедренной трапеции углы при основании AD равны:

\angle BAD = \angle ADC = 58^\circ

AC — биссектриса угла BAD, значит она делит его пополам:

\angle CAD = \frac{58^\circ}{2} = 29^\circ

В треугольнике ACD сумма углов равна 180°:

\angle ACD = 180^\circ – \angle CAD – \angle ADC = 180^\circ – 29^\circ – 58^\circ = 93^\circ

Задание 18

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображены две точки. Найдите расстояние между ними.

Ответ: 5

Решение

Достраиваем прямоугольный треугольник: по клеткам одна точка смещена относительно другой на 3 клетки по горизонтали и на 4 клетки по вертикали. Расстояние — гипотенуза:

d = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5

Задание 19

Какое из следующих утверждений является истинным высказыванием?

В параллелограмме есть два равных угла.
Каждая из биссектрис равнобедренного треугольника является его медианой.
Площадь прямоугольного треугольника равна произведению длин его катетов.

Ответ: 1

Пояснение

Истинно. В параллелограмме противоположные углы равны — таких пар даже две.
Ложно. Медианой является только биссектриса, проведённая из вершины между боковыми сторонами. Биссектрисы из двух других вершин медианами не являются.
Ложно. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов: $S = \frac{1}{2}ab$

Задание 20

Найдите все корни уравнения:

x^3 = 4x^2 – 2x

Ответ: 0; 2 − √2; 2 + √2

Решение

Переносим всё в левую часть и выносим общий множитель:

x^3 – 4x^2 + 2x = 0

x\left(x^2 – 4x + 2\right) = 0

Произведение равно нулю, когда хотя бы один множитель равен нулю.

x_1 = 0

Решаем квадратное уравнение $x² − 4x + 2 = 0:$

D = (-4)^2 – 4\cdot 1\cdot 2 = 16 – 8 = 8

x = \frac{4 \pm \sqrt{8}}{2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{2}}{2} = 2 \pm \sqrt{2}

Задание 21

Свежие фрукты содержат 79 % воды, а высушенные — 16 %. Сколько требуется свежих фруктов для приготовления 72 кг высушенных фруктов?

Ответ: 288 кг

Решение

При сушке испаряется только вода, а масса сухого вещества не меняется. Считаем именно сухое вещество.

В свежих фруктах сухого вещества 100 − 79 = 21 %, в высушенных 100 − 16 = 84 %. Сухое вещество в 72 кг высушенных фруктов:

72\cdot 0{,}84 = 60{,}48\ \text{(кг)}

Пусть требуется x кг свежих фруктов. Тогда:

0{,}21x = 60{,}48 \;\Longrightarrow\; x = \frac{60{,}48}{0{,}21} = 288\ \text{(кг)}

Задание 22

Постройте график функции

y = x|x| + |x| – 5x

Определите, при каких значениях $m$ прямая $y = m$ имеет с графиком ровно две общие точки.

Ответ: m = −4 и m = 9

Решение

Раскрываем модуль по определению — получаем кусочно-заданную функцию.

При x ≥ 0: |x| = x, поэтому y = x·x + x − 5x = x² − 4x.
При x < 0: |x| = −x, поэтому y = −x² − x − 5x = −x² − 6x.

y = \begin{cases} x^2 – 4x, & x \ge 0, \\ -x^2 – 6x, & x < 0. \end{cases}

Первая ветвь — часть параболы ветвями вверх при x ≥ 0. Её вершина:

x_0 = \frac{4}{2} = 2,\qquad y_0 = 2^2 – 4\cdot 2 = -4

Вторая ветвь — часть параболы ветвями вниз при x < 0. Её вершина:

x_0 = -\frac{6}{2} = -3,\qquad y_0 = -(-3)^2 – 6\cdot(-3) = 9

Обе ветви проходят через начало координат: при x = 0 значение y = 0, а вторая ветвь пересекает ось Ox ещё и в точке x = −6. График непрерывен.

Теперь считаем, сколько точек пересечения даёт горизонтальная прямая y = m:

m > 9 — прямая проходит выше вершины левой ветви: 1 точка (только на правой ветви);
m = 9 — прямая касается вершины левой ветви: 1 + 1 = 2 точки;
−4 < m < 9 — 3 точки;
m = −4 — прямая проходит через вершину правой ветви: 1 + 1 = 2 точки;
m < −4 — 1 точка (только на левой ветви).

Ровно две общие точки получаются в двух случаях — когда прямая проходит через вершину одной из ветвей.

m = -4 \quad \text{или} \quad m = 9

Задание 23

Биссектриса угла A параллелограмма ABCD пересекает сторону BC в точке K. Найдите периметр параллелограмма, если BK = 6, CK = 10.

Ответ: 44

Решение

BC ∥ AD, значит углы KAD и AKB — накрест лежащие при секущей AK, они равны.

\angle AKB = \angle KAD

AK — биссектриса угла A, поэтому ∠KAD = ∠BAK. Отсюда:

\angle AKB = \angle BAK

Значит треугольник ABK равнобедренный, и AB = BK = 6.

BC = BK + KC = 6 + 10 = 16

P = 2\left(AB + BC\right) = 2\left(6 + 16\right) = 44

Задание 24

В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AA₁ и BB₁. Докажите, что углы AA₁B₁ и ABB₁ равны.

Решение

AA₁ — высота, значит AA₁ ⊥ BC, и угол AA₁B прямой. BB₁ — высота, значит BB₁ ⊥ AC, и угол AB₁B прямой.

\angle AA_1B = \angle AB_1B = 90^\circ

Точки A₁ и B₁ видят отрезок AB под прямым углом, значит обе лежат на окружности с диаметром AB (по обратной теореме об угле, опирающемся на диаметр).

Итак, точки A, B₁, A₁, B лежат на одной окружности.

Углы AA₁B₁ и ABB₁ — вписанные в эту окружность и опираются на одну и ту же дугу AB₁ (причём вершины A₁ и B лежат по одну сторону от хорды AB₁). Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны.

\angle AA_1B_1 = \angle ABB_1 \qquad

Что и требовалось доказать.

Задание 25

В трапеции ABCD боковая сторона AB перпендикулярна основанию BC. Окружность проходит через точки C и D и касается прямой AB в точке E. Найдите расстояние от точки E до прямой CD, если AD = 20, BC = 15.

Ответ: 10√3 ≈ 17,32

Решение