Разбор тренировочной работы Статград по математике от 23.09.26 (МА2690102)

Егорка — 2, Доломино — 3, Ванютино — 4. На шоссе точки идут в порядке Егорка — Доломино — Ванютино, то есть Доломино лежит между Егоркой и Ванютино.

По условию Егорка → Ванютино = 12 км, Доломино → Егорка = 4 км. Значит::

DV = EV - ED = 12 - 4 = 8\ \text{(км)}

Доломино (3), Ванютино (4) и Горюново (6) образуют прямоугольный треугольник: в Ванютине два шоссе пересекаются под прямым углом.

Катеты: Доломино → Ванютино = 8 км (см. задание 2) и Ванютино → Горюново = 15 км. Расстояние по прямой — гипотенуза:

\sqrt{8^2 + 15^2} = \sqrt{64 + 225} = \sqrt{289} = 17\ \text{(км)}

Маршрут состоит из трёх участков: шоссе Антоновка → Доломино, просёлочная дорога Доломино → Горюново, шоссе Горюново → Богданово.

1) Шоссе Антоновка → Доломино = 12 км (дано в условии).
2) Просёлочная дорога Доломино → Горюново = 17 км (см. задание 3).
3) Шоссе Горюново → Богданово. От Ванютина до Богданова по шоссе 9 + 12 = 21 км, а от Ванютина до Горюнова — 15 км, поэтому:

21 - 15 = 6\ \text{(км)}

Считаем время: по шоссе скорость 50 км/ч, по просёлочной дороге — 30 км/ч.

t_1 = \frac{12}{50}\cdot 60 = 14{,}4\ \text{(мин)} t_2 = \frac{17}{30}\cdot 60 = 34\ \text{(мин)} t_3 = \frac{6}{50}\cdot 60 = 7{,}2\ \text{(мин)} t = 14{,}4 + 34 + 7{,}2 = 55{,}6\ \text{(мин)}

Путь через Ванютино целиком идёт по шоссе: Антоновка → Ванютино = 8 + 4 + 8 = 20 км и Ванютино → Богданово = 9 + 12 = 21 км.

S_{\text{шоссе}} = 20 + 21 = 41\ \text{(км)}

Путь напрямик — это просёлочная дорога Антоновка → Богданово мимо реки. Она гипотенуза прямоугольного треугольника Антоновка — Ванютино — Богданово с катетами 20 км и 21 км:

S_{\text{прос}} = \sqrt{20^2 + 21^2} = \sqrt{400 + 441} = \sqrt{841} = 29\ \text{(км)}

Пусть на просёлочных дорогах расход равен литров на 100 км. Объёмы бензина равны:

\frac{41\cdot 5{,}8}{100} = \frac{29x}{100} x = \frac{41\cdot 5{,}8}{29} = \frac{237{,}8}{29} = 8{,}2

Сначала складываем в знаменателе:

1 + \frac{1}{8} = \frac{8}{8} + \frac{1}{8} = \frac{9}{8}

Деление на дробь — это умножение на обратную:

\frac{0{,}9}{\frac{9}{8}} = 0{,}9\cdot\frac{8}{9} = \frac{0{,}9}{9}\cdot 8 = 0{,}1\cdot 8 = 0{,}8

Точка A лежит между 6 и 7, причём почти вплотную к 6. Возводим границы в квадрат:

6 = \sqrt{36},\qquad 7 = \sqrt{49}

Значит подходят только числа, подкоренное выражение которых между 36 и 49: √37 и √47. Но точка А находится ближе к 6, а значит, берем меньшее значение.

Сворачиваем произведения степеней с одинаковым основанием: показатели складываются.

2^2\cdot 2^6 = 2^{8},\qquad 2\cdot 2^8 = 2^{9}

При возведении степени в степень показатели перемножаются, при делении — вычитаются:

\frac{\left(2^8\right)^5}{\left(2^9\right)^4} = \frac{2^{40}}{2^{36}} = 2^{4} = 16

2x - 10 = x + 5

В событие B ведут две ветки дерева: через A и через Ā. Вероятность каждого пути — произведение чисел на его рёбрах, а вероятность события B — сумма этих произведений.

P(B) = P(A)\cdot P(B\mid A) + P(\overline{A})\cdot P(B\mid \overline{A}) P(B) = 0{,}25\cdot 0{,}2 + 0{,}75\cdot 0{,}6 = 0{,}05 + 0{,}45 = 0{,}5

Смотрим на знак коэффициента при x². Если он положительный — ветви вверх, если отрицательный — вниз.

В формуле 3) коэффициент 2 > 0, ветви вверх. Такой график только один — А). Значит А — 3.
В формулах 1) и 2) коэффициент −2 < 0, ветви вниз. Различаем их по абсциссе вершины:

x_0 = -\frac{b}{2a} 1)\; x_0 = -\frac{6}{2\cdot(-2)} = 1{,}5 > 0 \qquad 2)\; x_0 = -\frac{-6}{2\cdot(-2)} = -1{,}5 < 0

У графика Б) вершина справа от оси Oy — это формула 1. У графика В) вершина слева от оси Oy — это формула 2.

Подставляем данные в формулу:

F = 1000\cdot 9{,}8\cdot 0{,}5 = 9800\cdot 0{,}5 = 4900\ \text{(Н)}

Решаем каждое неравенство отдельно.

-35 + 5x < 0 \;\Longrightarrow\; 5x < 35 \;\Longrightarrow\; x < 7 6 - 3x > -18 \;\Longrightarrow\; -3x > -24 \;\Longrightarrow\; x < 8

При делении на отрицательное число знак неравенства меняется. Пересечение двух промежутков — более узкий из них:

\begin{cases} x < 7 \\ x < 8 \end{cases} \;\Longrightarrow\; x \in (-\infty;\,7)

Пути за каждую секунду образуют арифметическую прогрессию с первым членом 20 и разностью −4. Автомобиль останавливается, когда путь за секунду становится равным нулю.

a_1 = 20,\quad a_2 = 16,\quad a_3 = 12,\quad a_4 = 8,\quad a_5 = 4,\quad a_6 = 0

Значит движение длится 5 секунд. Складываем:

S_5 = 20 + 16 + 12 + 8 + 4 = 60\ \text{(м)}

Тот же результат по формуле суммы:

S_5 = \frac{a_1 + a_5}{2}\cdot 5 = \frac{20 + 4}{2}\cdot 5 = 60

Треугольник ABM равнобедренный (AM = BM), поэтому углы при основании AB равны:

\angle BAM = \angle ABM = \angle A

Треугольник BMC тоже равнобедренный (BM = MC), поэтому:

\angle MBC = \angle C = 66^\circ

Записываем сумму углов треугольника ABC:

\angle A + \left(\angle A + 66^\circ\right) + 66^\circ = 180^\circ 2\angle A = 48^\circ \;\Longrightarrow\; \angle A = 24^\circ

Диагональ прямоугольника — диаметр описанной окружности, значит диагональ равна 26.

Диагональ делит прямоугольник на два прямоугольных треугольника. Катет, противолежащий данному углу, равен произведению гипотенузы на синус угла:

a = 26\cdot \frac{5}{13} = 10

Второй катет (вторую сторону прямоугольника) находим по теореме Пифагора:

b = \sqrt{26^2 - 10^2} = \sqrt{676 - 100} = \sqrt{576} = 24 S = a\cdot b = 10\cdot 24 = 240

В равнобедренной трапеции углы при основании AD равны:

\angle BAD = \angle ADC = 58^\circ

AC — биссектриса угла BAD, значит она делит его пополам:

\angle CAD = \frac{58^\circ}{2} = 29^\circ

В треугольнике ACD сумма углов равна 180°:

\angle ACD = 180^\circ - \angle CAD - \angle ADC = 180^\circ - 29^\circ - 58^\circ = 93^\circ

Достраиваем прямоугольный треугольник: по клеткам одна точка смещена относительно другой на 3 клетки по горизонтали и на 4 клетки по вертикали. Расстояние — гипотенуза:

d = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5

1. Истинно. В параллелограмме противоположные углы равны — таких пар даже две.

2. Ложно. Медианой является только биссектриса, проведённая из вершины между боковыми сторонами. Биссектрисы из двух других вершин медианами не являются.

3. Ложно. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов:

Переносим всё в левую часть и выносим общий множитель:

x^3 - 4x^2 + 2x = 0 x\left(x^2 - 4x + 2\right) = 0

Произведение равно нулю, когда хотя бы один множитель равен нулю.

x_1 = 0

Решаем квадратное уравнение

D = (-4)^2 - 4\cdot 1\cdot 2 = 16 - 8 = 8 x = \frac{4 \pm \sqrt{8}}{2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{2}}{2} = 2 \pm \sqrt{2}

При сушке испаряется только вода, а масса сухого вещества не меняется. Считаем именно сухое вещество.

В свежих фруктах сухого вещества 100 − 79 = 21 %, в высушенных 100 − 16 = 84 %. Сухое вещество в 72 кг высушенных фруктов:

72\cdot 0{,}84 = 60{,}48\ \text{(кг)}

Пусть требуется x кг свежих фруктов. Тогда:

0{,}21x = 60{,}48 \;\Longrightarrow\; x = \frac{60{,}48}{0{,}21} = 288\ \text{(кг)}

Раскрываем модуль по определению — получаем кусочно-заданную функцию.

При x ≥ 0: |x| = x, поэтому y = x·x + x − 5x = x² − 4x.
При x < 0: |x| = −x, поэтому y = −x² − x − 5x = −x² − 6x.

y = \begin{cases} x^2 - 4x, & x \ge 0, \\ -x^2 - 6x, & x < 0. \end{cases}

Первая ветвь — часть параболы ветвями вверх при x ≥ 0. Её вершина:

x_0 = \frac{4}{2} = 2,\qquad y_0 = 2^2 - 4\cdot 2 = -4

Вторая ветвь — часть параболы ветвями вниз при x < 0. Её вершина:

x_0 = -\frac{6}{2} = -3,\qquad y_0 = -(-3)^2 - 6\cdot(-3) = 9

Обе ветви проходят через начало координат: при x = 0 значение y = 0, а вторая ветвь пересекает ось Ox ещё и в точке x = −6. График непрерывен.

Теперь считаем, сколько точек пересечения даёт горизонтальная прямая y = m:

• m > 9 — прямая проходит выше вершины левой ветви: 1 точка (только на правой ветви);

• m = 9 — прямая касается вершины левой ветви: 1 + 1 = 2 точки;

• −4 < m < 9 — 3 точки;

• m = −4 — прямая проходит через вершину правой ветви: 1 + 1 = 2 точки;

• m < −4 — 1 точка (только на левой ветви).

Ровно две общие точки получаются в двух случаях — когда прямая проходит через вершину одной из ветвей.

m = -4 \quad \text{или} \quad m = 9

BC ∥ AD, значит углы KAD и AKB — накрест лежащие при секущей AK, они равны.

\angle AKB = \angle KAD

AK — биссектриса угла A, поэтому ∠KAD = ∠BAK. Отсюда:

\angle AKB = \angle BAK

Значит треугольник ABK равнобедренный, и AB = BK = 6.

BC = BK + KC = 6 + 10 = 16 P = 2\left(AB + BC\right) = 2\left(6 + 16\right) = 44

AA₁ — высота, значит AA₁ ⊥ BC, и угол AA₁B прямой. BB₁ — высота, значит BB₁ ⊥ AC, и угол AB₁B прямой.

\angle AA_1B = \angle AB_1B = 90^\circ

Точки A₁ и B₁ видят отрезок AB под прямым углом, значит обе лежат на окружности с диаметром AB (по обратной теореме об угле, опирающемся на диаметр).

Итак, точки A, B₁, A₁, B лежат на одной окружности.

Углы AA₁B₁ и ABB₁ — вписанные в эту окружность и опираются на одну и ту же дугу AB₁ (причём вершины A₁ и B лежат по одну сторону от хорды AB₁). Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны.

\angle AA_1B_1 = \angle ABB_1 \qquad

Что и требовалось доказать.

Так как BC ∥ AD и AB ⊥ BC, то AB ⊥ AD — трапеция прямоугольная, и AB перпендикулярна обоим основаниям.

Пусть P — основание перпендикуляра, опущенного из E на прямую CD. Нужно найти EP.

По свойству угла между касательной и хордой (он равен вписанному углу, опирающемуся на эту хорду):

\angle BEC = \angle EDC, \qquad \angle AED = \angle ECD

Треугольники EBC и DPE прямоугольные (углы при B и P прямые) и имеют равные острые углы, значит они подобны:

\triangle EBC \sim \triangle DPE \;\Longrightarrow\; \frac{BC}{PE} = \frac{EB}{DP} = \frac{EC}{DE}

Аналогично подобны треугольники EAD и CPE:

\triangle EAD \sim \triangle CPE \;\Longrightarrow\; \frac{AD}{PE} = \frac{EA}{CP} = \frac{ED}{CE}

Из первых пропорций: PE·EB = BC·DP, из вторых: PE·EA = AD·CP. Перемножим:

PE^2\cdot EA\cdot EB = BC\cdot AD\cdot CP\cdot DP

А из отношений EC/DE и ED/CE получаем DP·CP = EB·EA. Подставляем и сокращаем:

PE^2 = BC\cdot AD

Это и есть ключевой факт: расстояние от точки касания до прямой CD — среднее геометрическое оснований трапеции. Подставляем числа:

PE = \sqrt{BC\cdot AD} = \sqrt{15\cdot 20} = \sqrt{300} = 10\sqrt{3} \approx 17{,}32