Тригонометрические формулы для ЕГЭ

Тригонометрические формулы связывают углы со сторонами треугольников, а на экзамене превращают громоздкие выражения в короткие. В основе — синус, косинус, тангенс, дальше идут формулы сложения, двойного и половинного угла. Если вы сдаете ЕГЭ по профильной математике, знать их придется твердо. 

Тем, кому нужна система и проверка работ, подойдет курс подготовки к ЕГЭ по профильной математике, а пока давайте разберем сами формулы.

Основные тригонометрические формулы

Синус и косинус

В прямоугольном треугольнике синус острого угла равен отношению противолежащего катета к гипотенузе, а косинус равен отношению прилежащего катета к гипотенузе. Для произвольных углов удобнее единичная окружность. Точка на ней, отвечающая углу $\alpha$, имеет координаты $(\cos \alpha ;\sin \alpha )$, то есть косинус это абсцисса, синус это ордината. Отсюда сразу видно, что значения лежат между $-1$ и $1$, а знак зависит от четверти.

Наизусть стоит помнить такую таблицу.

$$\sin {30}^{\circ }=\frac{1}{2},\sin {45}^{\circ }=\frac{\sqrt{2}}{2},\sin {60}^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}$$

$$\cos {30}^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2},\cos {45}^{\circ }=\frac{\sqrt{2}}{2},\cos {60}^{\circ }=\frac{1}{2}$$

Дальше формулы четности и приведения. Без них угол вроде ${150}^{\circ }$ или $\frac{7\pi }{6}$ к табличному не свести.

$$\cos (-\alpha )=\cos \alpha ,\sin (-\alpha )=-\sin \alpha$$

$$\sin (\pi -\alpha )=\sin \alpha ,\cos (\pi -\alpha )=-\cos \alpha$$

$$\sin (\frac{\pi }{2}-\alpha )=\cos \alpha ,\cos (\frac{\pi }{2}-\alpha )=\sin \alpha$$

$$\sin (\pi +\alpha )=-\sin \alpha ,\cos (\pi +\alpha )=-\cos \alpha$$

Пример. Найдем $\sin {150}^{\circ }$. Угол ${150}^{\circ }$ равен ${180}^{\circ }-{30}^{\circ }$, значит $\sin {150}^{\circ }=\sin {30}^{\circ }=\frac{1}{2}$. Еще один случай, $\cos {120}^{\circ }=\cos ({180}^{\circ }-{60}^{\circ })=-\cos {60}^{\circ }=-\frac{1}{2}$.

Не забывайте про периодичность. Синус и косинус повторяются через полный оборот, то есть $\sin (\alpha +2\pi )=\sin \alpha$ и $\cos (\alpha +2\pi )=\cos \alpha$. Большой угол вроде ${780}^{\circ }$ сначала уменьшают на ${720}^{\circ }$, остается ${60}^{\circ }$, а с ним работать уже легко.

Тангенс и котангенс

Тангенс это отношение синуса к косинусу, котангенс устроен наоборот.

$$\mathrm{tg}\alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }$$

$$\mathrm{ctg}\alpha =\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }$$

$$\mathrm{tg}\alpha ·\mathrm{ctg}\alpha =1$$

Тангенс не существует там, где $\cos \alpha =0$, то есть при $\alpha =\frac{\pi }{2}+\pi k$. У котангенса запрет свой: $\sin \alpha$ не должен быть нулем, то есть $\alpha \ne \pi k$.

Пример. $\mathrm{tg}{60}^{\circ }=\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}}=\sqrt{3}$. Для угла ${135}^{\circ }$ получаем $\sin {135}^{\circ }=\frac{\sqrt{2}}{2}$, $\cos {135}^{\circ }=-\frac{\sqrt{2}}{2}$, поэтому $\mathrm{tg}{135}^{\circ }=-1$. Знак выдает вторую четверть, где тангенс отрицателен.

Основные тождества

$${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$$

$$1+{\mathrm{tg}}^2\alpha =\frac{1}{{\cos }^2\alpha }$$

$$1+{\mathrm{ctg}}^2\alpha =\frac{1}{{\sin }^2\alpha }$$

Первое работает чаще всех. Зная одну функцию, вторую находим за одно действие, только знак выбираем по четверти. Два других получаются делением первого на ${\cos }^2\alpha$ или на ${\sin }^2\alpha$, так что зубрить их необязательно.

Пример. Пусть $\sin \alpha =\frac{3}{5}$, а угол лежит во второй четверти. Тогда ${\cos }^2\alpha =1-\frac{9}{25}=\frac{16}{25}$, откуда $\cos \alpha =\pm \frac{4}{5}$. Во второй четверти косинус отрицателен, ответ $\cos \alpha =-\frac{4}{5}$.

Тождества помогают менять одну функцию на другую. Уравнение, где есть и синус, и косинус, часто удается свести к одной переменной.

Формулы сложения и разности углов

Формулы для синуса и косинуса

$$\sin (\alpha +\beta )=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta$$

$$\sin (\alpha -\beta )=\sin \alpha \cos \beta -\cos \alpha \sin \beta$$

$$\cos (\alpha +\beta )=\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta$$

$$\cos (\alpha -\beta )=\cos \alpha \cos \beta +\sin \alpha \sin \beta$$

У синуса знак в правой части такой же, как в скобке, у косинуса противоположный.

Пример 1. Найдем $\sin {75}^{\circ }$. Представим ${75}^{\circ }$ как ${45}^{\circ }+{30}^{\circ }$. Получаем $\sin {45}^{\circ }\cos {30}^{\circ }+\cos {45}^{\circ }\sin {30}^{\circ }=\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)+\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$.

Пример 2. Найдите значение выражения $\cos {17}^{\circ }\cos {13}^{\circ }-\sin {17}^{\circ }\sin {13}^{\circ }$. Перед нами правая часть формулы косинуса суммы, значит выражение равно $\cos ({17}^{\circ }+{13}^{\circ })=\cos {30}^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}$. Такие задачи решаются в одну строку, если узнать формулу.

Формулы для тангенса

$$\mathrm{tg}(\alpha +\beta )=\frac{\mathrm{tg}\alpha +\mathrm{tg}\beta }{1-\mathrm{tg}\alpha ·\mathrm{tg}\beta }$$

$$\mathrm{tg}(\alpha -\beta )=\frac{\mathrm{tg}\alpha -\mathrm{tg}\beta }{1+\mathrm{tg}\alpha ·\mathrm{tg}\beta }$$

Формулы работают, пока определены все тангенсы, а знаменатель не обращается в ноль.

Пример. Найдем $\mathrm{tg}{75}^{\circ }=\mathrm{tg}({45}^{\circ }+{30}^{\circ })$. Подставляем $\mathrm{tg}{45}^{\circ }=1$ и $\mathrm{tg}{30}^{\circ }=\frac{1}{\sqrt{3}}$. Получаем $\frac{1+\frac{1}{\sqrt{3}}}{1-\frac{1}{\sqrt{3}}}=\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1}$. Домножаем числитель и знаменатель на $(\sqrt{3}+1)$, выходит $\frac{(\sqrt{3}+1{)}^2}{2}=\frac{4+2\sqrt{3}}{2}=2+\sqrt{3}$.

Формулы двойного и половинного угла

Двойной угол

$$\sin 2\alpha =2\sin \alpha \cos \alpha$$

$$\cos 2\alpha ={\cos }^2\alpha -{\sin }^2\alpha =2{\cos }^2\alpha -1=1-2{\sin }^2\alpha$$

$$\mathrm{tg}2\alpha =\frac{2\mathrm{tg}\alpha }{1-{\mathrm{tg}}^2\alpha }$$

Три записи косинуса появились не случайно. Когда в задаче одни синусы, берут последнюю формулу. Если же косинусы, то среднюю. Все они выводятся из формулы суммы при $\beta =\alpha$ с помощью основного тождества, так что при провале памяти формулу можно восстановить за полминуты.

Пример 1. Пусть $\sin \alpha =\mathrm{0,6}$, а $\alpha$ острый. Тогда $\cos \alpha =\mathrm{0,8}$, и $\sin 2\alpha =2·\mathrm{0,6}·\mathrm{0,8}=\mathrm{0,96}$.

Пример 2. Выражение $2\sin {15}^{\circ }\cos {15}^{\circ }$ сворачивается по той же формуле в $\sin {30}^{\circ }=\frac{1}{2}$.

Половинный угол

$${\sin }^2\frac{\alpha }{2}=\frac{1-\cos \alpha }{2}$$

$${\cos }^2\frac{\alpha }{2}=\frac{1+\cos \alpha }{2}$$

$$\mathrm{tg}\frac{\alpha }{2}=\frac{\sin \alpha }{1+\cos \alpha }=\frac{1-\cos \alpha }{\sin \alpha }$$

Первые две называют формулами понижения степени, они убирают квадраты. Если нужна сама функция, а не ее квадрат, извлекают корень и выбирают знак по четверти, в которой лежит угол $\frac{\alpha }{2}$.

Пример. ${\sin }^2{15}^{\circ }=\frac{1-\cos {30}^{\circ }}{2}=\frac{1-\frac{\sqrt{3}}{2}}{2}=\frac{2-\sqrt{3}}{4}$. Угол ${15}^{\circ }$ острый, так что $\sin {15}^{\circ }$ положителен, и корень берем со знаком плюс.

Те же формулы дают значение для угла, которого нет в таблице. Например, ${\cos }^2(22,5^{\circ })=\frac{1+\cos {45}^{\circ }}{2}=\frac{2+\sqrt{2}}{4}$, а сам косинус равен половине от $\sqrt{2+\sqrt{2}}$.

Преобразования тригонометрических выражений

Упрощение выражений

Алгоритм у такой работы простой. Сначала смотрим на аргументы, и если они разные, сводим к одному. Потом смотрим на функции и стараемся оставить одну. Затем применяем подходящую формулу, сокращаем, считаем.

Пример 1. Упростим $(\sin \alpha +\cos \alpha {)}^2-2\sin \alpha \cos \alpha$. Раскрываем скобки и получаем ${\sin }^2\alpha +2\sin \alpha \cos \alpha +{\cos }^2\alpha -2\sin \alpha \cos \alpha$. Удвоенные произведения сокращаются, остается ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$.

Пример 2. Упростим $\frac{1-\cos 2\alpha }{\sin 2\alpha }$. В числителе $1-\cos 2\alpha =2{\sin }^2\alpha$, в знаменателе $2\sin \alpha \cos \alpha$. Сокращаем на $2\sin \alpha$, получаем $\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\mathrm{tg}\alpha$. Условие, конечно, что $\sin \alpha$ и $\cos \alpha$ не равны нулю.

Пример 3. Упростим ${\sin }^4\alpha -{\cos }^4\alpha$. Это разность квадратов, она раскладывается на $({\sin }^2\alpha -{\cos }^2\alpha )({\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha )$. Вторая скобка равна единице, первая равна $-\cos 2\alpha$. Итого $-\cos 2\alpha$, и никаких громоздких вычислений.

Преобразование тождеств

Тождество доказывают так: либо одну часть приводят к виду другой, либо обе сводят к общему результату. Из приемов чаще всего выручают переход к синусам и косинусам, общий знаменатель, разложение на множители, домножение на сопряженное выражение.

Пример. Докажем, что $\frac{\sin \alpha }{1+\cos \alpha }+\frac{1+\cos \alpha }{\sin \alpha }=\frac{2}{\sin \alpha }$. Общий знаменатель равен $\sin \alpha (1+\cos \alpha )$. В числителе будет ${\sin }^2\alpha +(1+\cos \alpha {)}^2={\sin }^2\alpha +1+2\cos \alpha +{\cos }^2\alpha$. Так как ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$, числитель становится $2+2\cos \alpha =2(1+\cos \alpha )$. Сокращаем на $(1+\cos \alpha )$, остается $\frac{2}{\sin \alpha }$, что и требовалось.

Примеры задач ЕГЭ с решениями

Задачи на применение формул

Задача 1. Найдите значение выражения $5\cos \alpha$, если $\sin \alpha =-\mathrm{0,6}$ и $\frac{3\pi }{2}<\alpha <2\pi$.

Решение. По основному тождеству ${\cos }^2\alpha =1-\mathrm{0,36}=\mathrm{0,64}$. В четвертой четверти косинус положителен, поэтому $\cos \alpha =\mathrm{0,8}$. Выражение равно $5·\mathrm{0,8}=4$. Ответ $4$.

Задача 2. Найдите значение выражения $2\sqrt{3}({\cos }^2{15}^{\circ }-{\sin }^2{15}^{\circ })$.

Решение. Скобка по формуле двойного угла равна $\cos {30}^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}$. Остается $2\sqrt{3}·\frac{\sqrt{3}}{2}=3$. Ответ $3$.

Задача 3. Найдите значение выражения $12\sin 2\alpha$, если $\cos \alpha =\mathrm{0,6}$ и $\frac{3\pi }{2}<\alpha <2\pi$.

Решение. Из основного тождества ${\sin }^2\alpha =1-\mathrm{0,36}=\mathrm{0,64}$. В четвертой четверти синус отрицателен, значит $\sin \alpha =-\mathrm{0,8}$. По формуле двойного угла $\sin 2\alpha =2·(-\mathrm{0,8})·\mathrm{0,6}=-\mathrm{0,96}$. Умножаем на $12$ и получаем $-\mathrm{11,52}$. Ответ $-\mathrm{11,52}$

Задача 4. Решите уравнение $\cos 2x+3\sin x=2$.

Решение. Заменим $\cos 2x$ на $1-2{\sin }^{2}x$. Получится $1-2{\sin }^{2}x+3\sin x=2$, то есть $2{\sin }^{2}x-3\sin x+1=0$. Пусть $t=\sin x$, тогда $2t^2-3t+1=0$, корни $t=1$ и $t=\frac{1}{2}$. Отсюда $x=\frac{\pi }{2}+2\pi k$, $x=\frac{\pi }{6}+2\pi k$, $x=\frac{5\pi }{6}+2\pi k$, где $k$ целое число. Другие приемы разобраны в материале про тригонометрические уравнения ЕГЭ. 

Распространенные ошибки

Самая частая ошибка связана со знаками. Формулы приведения без опоры на четверть дают неверный знак, то же самое с корнем в половинном угле. Выход простой: перед записью ответа спросить себя, в какой четверти угол и каков там знак у функции.

Вторая ловушка – самодельные формулы вроде $\sin (\alpha +\beta )=\sin \alpha +\sin \beta$. Проверка занимает пять секунд. Подставьте $\alpha =\beta ={30}^{\circ }$ и сравните, $\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1$, а $\sin {60}^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}$. Не совпало, значит, формула выдуманная.

Третья группа промахов относится к области определения. Делят на $\cos x$, не проверив случай $\cos x=0$, теряют корни. Или, наоборот, получают лишние, потому что тангенс в этой точке не существует. Выпишите ограничения в самом начале, потом вычеркивать придется меньше.

Отдельно стоит сказать про серии корней. Для уравнения $\sin x=a$ общий вид решения $x=(-1{)}^k·\arcsin a+\pi k$, а для $\cos x=a$ это $x=\pm \arccos a+2\pi k$. Записать лишь один корень значит потерять часть баллов на экзамене, хотя решение было верным.

Мелочей тоже хватает. Путают градусы с радианами, берут не ту запись $\cos 2\alpha$, пропускают квадрат при раскрытии скобок. Помогает привычка перепроверять результат на простом угле, скажем, ${30}^{\circ }$ или ${45}^{\circ }$.

Выучите основные формулы и разберитесь, откуда берутся остальные, тогда запоминать почти ничего не придется. Дальше решайте задачи, причем разные, от вычислений до уравнений, иначе формулы забудутся за неделю. Заведите шпаргалку или таблицу на один лист, где собраны тождества, приведение и значения для табличных углов, и повторяйте ее по утрам. Общий план подготовки разобран в статье «Как подготовиться к ЕГЭ по математике», загляните туда, чтобы встроить тригонометрию в свое расписание.

Часто задаваемые вопросы

Какие тригонометрические формулы нужно обязательно знать наизусть для ЕГЭ?

Основное тождество, значения синуса, косинуса и тангенса для углов 0°, 30°, 45°, 60°, 90°, формулы сложения для синуса и косинуса, формулы двойного угла и схему приведения. Этот минимум закрывает большую часть задач, а остальное выводится.

Какие формулы можно не запоминать, а быстро вывести из основных тождеств?

Формулы двойного угла получаются из суммы при β = α. Половинный угол выводится из косинуса двойного. Тождества с тангенсом и котангенсом получаются делением основного. Формулы приведения восстанавливаются по единичной окружности.

Как понять, какую тригонометрическую формулу следует применить первой?

Смотрите на аргументы и функции. Разные аргументы сводите к одному, разные функции — к одной. Если видите квадрат, думайте об основном тождестве или понижении степени. Если произведение синуса с косинусом одного угла, вспоминайте двойной угол.

Какие ограничения нужно учитывать при использовании формул с тангенсом и котангенсом?

Тангенс существует при cos α ≠ 0, котангенс при sin α ≠ 0. В формулах суммы и разности должны быть определены все тангенсы, а знаменатель не равен нулю. Деля уравнение на cos x, отдельно проверяйте случай cos x = 0.

В каких заданиях профильного ЕГЭ, кроме тригонометрических уравнений, применяются тригонометрические формулы?

В вычислительных заданиях первой части, где нужно найти значение выражения. В планиметрии и стереометрии, где работают теоремы синусов и косинусов. В задачах на производную и наибольшее значение функции, а также в заданиях с параметром.