Путь через Ванютино целиком идёт по шоссе: Антоновка → Ванютино = 20 км и Ванютино → Богданово = 9 + 12 = 21 км. Sшоссе(1)=20+21=41 (км)S_{\text{шоссе}}^{(1)} = 20 + 21 = 41\ \text{(км)} Путь через Доломино и Горюново: по шоссе Антоновка → Доломино = 12 км, по просёлочной дороге Доломино → Горюново, по шоссе Горюново → Богданово = 6 км.Просёлочная дорога Доломино → Горюново — гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами Доломино → Ванютино = 8 км и Ванютино → Горюново = 15 км: 82+152=64+225=289=17 (км)\sqrt{8^2 + 15^2} = \sqrt{64 + 225} = \sqrt{289} = 17\ \text{(км)} Sшоссе(2)=12+6=18 (км),Sпрос(2)=17 (км)S_{\text{шоссе}}^{(2)} = 12 + 6 = 18\ \text{(км)}, \qquad S_{\text{прос}}^{(2)} = 17\ \text{(км)} Пусть на просёлочных дорогах расход равен x литров на 100 км. Объёмы бензина равны: 41⋅6,8100=18⋅6,8100+17x100\frac{41\cdot 6{,}8}{100} = \frac{18\cdot 6{,}8}{100} + \frac{17x}{100} 41⋅6,8−18⋅6,8=17x⟹23⋅6,8=17x41\cdot 6{,}8 - 18\cdot 6{,}8 = 17x \;\Longrightarrow\; 23\cdot 6{,}8 = 17x x=156,417=9,2x = \frac{156{,}4}{17} = 9{,}2

Сначала складываем в знаменателе: 1+113=1313+113=14131 + \frac{1}{13} = \frac{13}{13} + \frac{1}{13} = \frac{14}{13} Деление на дробь — это умножение на обратную: 1,41413=1,4⋅1314=1,414⋅13=0,1⋅13=1,3\frac{1{,}4}{\frac{14}{13}} = 1{,}4\cdot\frac{13}{14} = \frac{1{,}4}{14}\cdot 13 = 0{,}1\cdot 13 = 1{,}3

2x−6=x+32x - 6 = x + 3 2x−x=3+62x - x = 3 + 6 x=9x = 9

В событие B ведут две ветки дерева: через A и через Ā. Вероятность каждого пути — произведение чисел на его рёбрах, а вероятность события B — сумма этих произведений. P(B)=P(A)⋅P(B|A)+P(A)⋅P(B|A)P(B) = P(A)\cdot P(B\mid A) + P(\overline{A})\cdot P(B\mid \overline{A}) P(B)=0,25⋅0,4+0,75⋅0,2=0,1+0,15=0,25P(B) = 0{,}25\cdot 0{,}4 + 0{,}75\cdot 0{,}2 = 0{,}1 + 0{,}15 = 0{,}25

Подставляем данные в формулу: F=1000⋅9,8⋅0,6=9800⋅0,6=5880 (Н)F = 1000\cdot 9{,}8\cdot 0{,}6 = 9800\cdot 0{,}6 = 5880\ \text{(Н)}

Решаем каждое неравенство отдельно. −10+2x>0⟹2x>10⟹x>5-10 + 2x > 0 \;\Longrightarrow\; 2x > 10 \;\Longrightarrow\; x > 5 7−6x>−5⟹−6x>−12⟹x -5 \;\Longrightarrow\; -6x > -12 \;\Longrightarrow\; x 5x 5 \\ x < 2 \end{cases} \;\Longrightarrow\; \varnothing

В равнобедренной трапеции углы при основании AD равны: ∠BAD=∠ADC=56∘\angle BAD = \angle ADC = 56^\circ AC — биссектриса угла BAD, значит она делит его пополам: ∠CAD=56∘2=28∘\angle CAD = \frac{56^\circ}{2} = 28^\circ В треугольнике ACD сумма углов равна 180°: ∠ACD=180∘−∠CAD−∠ADC=180∘−28∘−56∘=96∘\angle ACD = 180^\circ - \angle CAD - \angle ADC = 180^\circ - 28^\circ - 56^\circ = 96^\circ

Истинно. Достаточно даже равенства двух углов (первый признак подобия), а здесь равны все три. Ложно. Равны диагонали прямоугольника, а у ромба они перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам, но в общем случае не равны (равны только у квадрата). Ложно. Контрпример: tan⁡60∘=3≈1,73>1\tan 60^\circ = \sqrt{3} \approx 1{,}73 > 1

Переносим всё в левую часть и выносим общий множитель: x3−4x2+x=0x^3 - 4x^2 + x = 0 x(x2−4x+1)=0x\left(x^2 - 4x + 1\right) = 0 Произведение равно нулю, когда хотя бы один множитель равен нулю. x1=0x_1 = 0 Решаем квадратное уравнение x2−4x+1=0:x² − 4x + 1 = 0: D=(−4)2−4⋅1⋅1=16−4=12D = (-4)^2 - 4\cdot 1\cdot 1 = 16 - 4 = 12 x=4±122=4±232=2±3x = \frac{4 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{3}}{2} = 2 \pm \sqrt{3}

Раскрываем модуль по определению — получаем кусочно-заданную функцию. При x ≥ 0: |x| = x, поэтому y = x·x + x − 6x = x² − 5x.При x < 0: |x| = −x, поэтому y = −x² − x − 6x = −x² − 7x. y={x2−5x,x≥0,−x2−7x,x<0.y = \begin{cases} x^2 - 5x, & x \ge 0, \\ -x^2 - 7x, & x < 0. \end{cases} Первая ветвь — часть параболы ветвями вверх при x ≥ 0. Её вершина: x0=52=2,5,y0=2,52−5⋅2,5=−6,25x_0 = \frac{5}{2} = 2{,}5,\qquad y_0 = 2{,}5^2 - 5\cdot 2{,}5 = -6{,}25 Вторая ветвь — часть параболы ветвями вниз при x 12,25 — прямая проходит выше вершины левой ветви: 1 точка (только на правой ветви); m = 12,25 — прямая касается вершины левой ветви: 1 + 1 = 2 точки; −6,25 < m < 12,25 — 3 точки; m = −6,25 — прямая проходит через вершину правой ветви: 1 + 1 = 2 точки; m < −6,25 — 1 точка (только на левой ветви). Ровно две общие точки получаются в двух случаях — когда прямая проходит через вершину одной из ветвей. m=−6,25илиm=12,25m = -6{,}25 \quad \text{или} \quad m = 12{,}25

BC ∥ AD, значит углы KAD и AKB — накрест лежащие при секущей AK, они равны. ∠AKB=∠KAD\angle AKB = \angle KAD AK — биссектриса угла A, поэтому ∠KAD = ∠BAK. Отсюда: ∠AKB=∠BAK\angle AKB = \angle BAK Значит треугольник ABK равнобедренный, и AB = BK = 3. BC=BK+KC=3+19=22BC = BK + KC = 3 + 19 = 22 P=2(AB+BC)=2(3+22)=50P = 2\left(AB + BC\right) = 2\left(3 + 22\right) = 50

Так как BC ∥ AD и AB ⊥ BC, то AB ⊥ AD — трапеция прямоугольная, и AB перпендикулярна обоим основаниям. Пусть P — основание перпендикуляра, опущенного из E на прямую CD. Нужно найти EP. По свойству угла между касательной и хордой (он равен вписанному углу, опирающемуся на эту хорду): ∠BEC=∠EDC,∠AED=∠ECD\angle BEC = \angle EDC, \qquad \angle AED = \angle ECD Треугольники EBC и DPE прямоугольные (углы при B и P прямые) и имеют равные острые углы, значит они подобны: △EBC∼△DPE⟹BCPE=EBDP=ECDE\triangle EBC \sim \triangle DPE \;\Longrightarrow\; \frac{BC}{PE} = \frac{EB}{DP} = \frac{EC}{DE} Аналогично подобны треугольники EAD и CPE: △EAD∼△CPE⟹ADPE=EACP=EDCE\triangle EAD \sim \triangle CPE \;\Longrightarrow\; \frac{AD}{PE} = \frac{EA}{CP} = \frac{ED}{CE} Из первых пропорций: PE·EB = BC·DP, из вторых: PE·EA = AD·CP. Перемножим: PE2⋅EA⋅EB=BC⋅AD⋅CP⋅DPPE^2\cdot EA\cdot EB = BC\cdot AD\cdot CP\cdot DP А из отношений EC/DE и ED/CE получаем DP·CP = EB·EA. Подставляем и сокращаем: PE2=BC⋅ADPE^2 = BC\cdot AD Это и есть ключевой факт: расстояние от точки касания до прямой CD — среднее геометрическое оснований трапеции. Подставляем числа: PE=BC⋅AD=10⋅12=120=230≈10,95PE = \sqrt{BC\cdot AD} = \sqrt{10\cdot 12} = \sqrt{120} = 2\sqrt{30} \approx 10{,}95

Разбор тренировочной работы №1 Статград ОГЭ по математике

Q: Решение

Антоновка — 1, Егорка — 2, Доломино — 3. На шоссе точки расположены в порядке Антоновка — Егорка — Доломино, то есть Егорка лежит между Антоновкой и Доломино. По условию Антоновка → Доломино = 12 км, Доломино → Егорка = 4 км. Значит: AE=AD−DE=12−4=8 (км)AE = AD - DE = 12 - 4 = 8\ \text{(км)}

Q: Решение

Егорка (2), Ванютино (4) и Жилино (5) образуют прямоугольный треугольник: в Ванютине два шоссе пересекаются под прямым углом. Катеты: Егорка → Ванютино = 12 км и Ванютино → Жилино = 9 км. Расстояние по прямой — это гипотенуза, находим её по теореме Пифагора: 122+92=144+81=225=15 (км)\sqrt{12^2 + 9^2} = \sqrt{144 + 81} = \sqrt{225} = 15\ \text{(км)}

Q: Решение

Маршрут состоит из двух участков: просёлочная дорога Антоновка → Горюново и шоссе Горюново → Богданово. 1) Просёлочная дорога — гипотенуза прямоугольного треугольника Антоновка — Ванютино — Горюново. Катет по верхнему шоссе Антоновка → Ванютино = 8 + 4 + 8 = 20 км, второй катет Ванютино → Горюново = 15 км. 202+152=400+225=625=25 (км)\sqrt{20^2 + 15^2} = \sqrt{400 + 225} = \sqrt{625} = 25\ \text{(км)} 2) Участок шоссе Горюново → Богданово. От Ванютина до Богданова по шоссе 9 + 12 = 21 км, а от Ванютина до Горюнова — 15 км, поэтому: 21−15=6 (км)21 - 15 = 6\ \text{(км)} 3) Считаем время. По просёлочной дороге скорость 30 км/ч, по шоссе — 50 км/ч: t1=2530⋅60=50 (мин)t_1 = \frac{25}{30}\cdot 60 = 50\ \text{(мин)} t2=650⋅60=7,2 (мин)t_2 = \frac{6}{50}\cdot 60 = 7{,}2\ \text{(мин)} t=50+7,2=57,2 (мин)t = 50 + 7{,}2 = 57{,}2\ \text{(мин)}

Q: Решение

Точка A лежит между 5 и 6, ближе к 6. Возводим границы в квадрат: 5=25,6=365 = \sqrt{25},\qquad 6 = \sqrt{36} Значит подходят только те числа, подкоренное выражение которых лежит между 25 и 36: это √28 и √33. Ближе из них бОльшее число — это √33.

Q: Решение

Сворачиваем произведения степеней с одинаковым основанием: показатели складываются. 22⋅24=26,2⋅26=272^2\cdot 2^4 = 2^{6},\qquad 2\cdot 2^6 = 2^{7} При возведении степени в степень показатели перемножаются: (26)7(27)6=242242=20=1\frac{\left(2^6\right)^7}{\left(2^7\right)^6} = \frac{2^{42}}{2^{42}} = 2^{0} = 1

Q: Решение

Смотрим на знак коэффициента при x². Если он положительный — ветви вверх, если отрицательный — вниз. В формуле 3) коэффициент 3 > 0, ветви вверх. Такой график только один — В). Значит В — 3.В формулах 1) и 2) коэффициент −3 02)x0=−−32⋅(−3)=−0,5 0 \qquad 2)\; x_0 = -\frac{-3}{2\cdot(-3)} = -0{,}5 < 0 У графика Б) вершина справа от оси Oy — это формула 1. У графика А) вершина слева от оси Oy — это формула 2.

ВАРИАНТ МА2690102

Прочитайте внимательно текст и выполните задания 1–5.

На рисунке изображён план сельской местности.
Таня на летних каникулах приезжает в гости к дедушке в деревню Антоновку (на плане обозначена цифрой 1). В конце каникул дедушка на машине собирается отвезти Таню на автобусную станцию, которая находится в деревне Богданово. Из Антоновки в Богданово можно проехать по просёлочной дороге мимо реки. Есть другой путь — по шоссе до деревни Ванютино, где нужно повернуть под прямым углом налево на другое шоссе, ведущее в Богданово. Третий маршрут проходит по просёлочной дороге мимо пруда до деревни Горюново, где можно свернуть на шоссе до Богданова. Четвёртый маршрут пролегает по шоссе до деревни Доломино, от Доломина до Горюнова по просёлочной дороге мимо конюшни и от Горюнова до Богданова по шоссе. Ещё один маршрут проходит по шоссе до деревни Егорки, по просёлочной дороге мимо конюшни от Егорки до Жилина и по шоссе от Жилина до Богданова.
Шоссе и просёлочные дороги образуют прямоугольные треугольники.

По шоссе Таня с дедушкой едут со скоростью 50 км/ч, а по просёлочным дорогам — со скоростью 30 км/ч. Расстояние от Антоновки до Доломина равно 12 км, от Доломина до Егорки — 4 км, от Егорки до Ванютина — 12 км, от Горюнова до Ванютина — 15 км, от Ванютина до Жилина — 9 км, а от Жилина до Богданова — 12 км.

Задание 1

Пользуясь описанием, определите, какими цифрами на плане обозначены деревни. Заполните таблицу, в ответе запишите последовательность четырёх цифр без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

Деревни	Ванютино	Горюново	Егорка	Жилино
Цифры

Ответ: 4625

Задание 2

Найдите расстояние от Антоновки до Егорки по шоссе. Ответ дайте в километрах.

Ответ: 8

Решение

Антоновка — 1, Егорка — 2, Доломино — 3. На шоссе точки расположены в порядке Антоновка — Егорка — Доломино, то есть Егорка лежит между Антоновкой и Доломино.

По условию Антоновка → Доломино = 12 км, Доломино → Егорка = 4 км. Значит:

AE = AD – DE = 12 – 4 = 8\ \text{(км)}

Задание 3

Найдите расстояние от Егорки до Жилина по прямой. Ответ дайте в километрах.

Ответ: 15

Решение

Егорка (2), Ванютино (4) и Жилино (5) образуют прямоугольный треугольник: в Ванютине два шоссе пересекаются под прямым углом.

Катеты: Егорка → Ванютино = 12 км и Ванютино → Жилино = 9 км. Расстояние по прямой — это гипотенуза, находим её по теореме Пифагора:

\sqrt{12^2 + 9^2} = \sqrt{144 + 81} = \sqrt{225} = 15\ \text{(км)}

Задание 4

Сколько минут затратят Таня с дедушкой на дорогу из Антоновки в Богданово, если поедут мимо пруда через Горюново?

Ответ: 57,2

Решение

Маршрут состоит из двух участков: просёлочная дорога Антоновка → Горюново и шоссе Горюново → Богданово.

1) Просёлочная дорога — гипотенуза прямоугольного треугольника Антоновка — Ванютино — Горюново. Катет по верхнему шоссе Антоновка → Ванютино = 8 + 4 + 8 = 20 км, второй катет Ванютино → Горюново = 15 км.

\sqrt{20^2 + 15^2} = \sqrt{400 + 225} = \sqrt{625} = 25\ \text{(км)}

2) Участок шоссе Горюново → Богданово. От Ванютина до Богданова по шоссе 9 + 12 = 21 км, а от Ванютина до Горюнова — 15 км, поэтому: $21 – 15 = 6\ \text{(км)}$

3) Считаем время. По просёлочной дороге скорость 30 км/ч, по шоссе — 50 км/ч:

t_1 = \frac{25}{30}\cdot 60 = 50\ \text{(мин)}

t_2 = \frac{6}{50}\cdot 60 = 7{,}2\ \text{(мин)}

t = 50 + 7{,}2 = 57{,}2\ \text{(мин)}

Задание 5

На шоссе машина дедушки расходует 6,8 литра бензина на 100 км. Известно, что на путь из Антоновки до Богданова через Ванютино и на путь через Доломино и Горюново мимо конюшни ей необходим один и тот же объём бензина. Сколько литров бензина на 100 км машина дедушки расходует на просёлочных дорогах?

Ответ: 9,2

Решение

Путь через Ванютино целиком идёт по шоссе: Антоновка → Ванютино = 20 км и Ванютино → Богданово = 9 + 12 = 21 км.

S_{\text{шоссе}}^{(1)} = 20 + 21 = 41\ \text{(км)}

Путь через Доломино и Горюново: по шоссе Антоновка → Доломино = 12 км, по просёлочной дороге Доломино → Горюново, по шоссе Горюново → Богданово = 6 км.
Просёлочная дорога Доломино → Горюново — гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами Доломино → Ванютино = 8 км и Ванютино → Горюново = 15 км:

\sqrt{8^2 + 15^2} = \sqrt{64 + 225} = \sqrt{289} = 17\ \text{(км)}

S_{\text{шоссе}}^{(2)} = 12 + 6 = 18\ \text{(км)}, \qquad S_{\text{прос}}^{(2)} = 17\ \text{(км)}

Пусть на просёлочных дорогах расход равен x литров на 100 км. Объёмы бензина равны:

\frac{41\cdot 6{,}8}{100} = \frac{18\cdot 6{,}8}{100} + \frac{17x}{100}

41\cdot 6{,}8 – 18\cdot 6{,}8 = 17x \;\Longrightarrow\; 23\cdot 6{,}8 = 17x

x = \frac{156{,}4}{17} = 9{,}2

Задание 6

Найдите значение выражения:

\frac{1{,}4}{1 + \dfrac{1}{13}}

Ответ: 1,3

Решение

Сначала складываем в знаменателе:

1 + \frac{1}{13} = \frac{13}{13} + \frac{1}{13} = \frac{14}{13}

Деление на дробь — это умножение на обратную:

\frac{1{,}4}{\frac{14}{13}} = 1{,}4\cdot\frac{13}{14} = \frac{1{,}4}{14}\cdot 13 = 0{,}1\cdot 13 = 1{,}3

Задание 7

Одно из чисел √28, √33, √38, √47 отмечено на прямой точкой A. Какое это число?

√28
√33
√38
√47

Ответ: 2

Решение

Точка A лежит между 5 и 6, ближе к 6. Возводим границы в квадрат:

5 = \sqrt{25},\qquad 6 = \sqrt{36}

Значит подходят только те числа, подкоренное выражение которых лежит между 25 и 36: это √28 и √33. Ближе из них бОльшее число — это √33.

Задание 8

Найдите значение выражения:

\frac{\left(2^2\cdot 2^4\right)^7}{\left(2\cdot 2^6\right)^6}

Ответ: 1

Решение

Сворачиваем произведения степеней с одинаковым основанием: показатели складываются.

2^2\cdot 2^4 = 2^{6},\qquad 2\cdot 2^6 = 2^{7}

При возведении степени в степень показатели перемножаются:

\frac{\left(2^6\right)^7}{\left(2^7\right)^6} = \frac{2^{42}}{2^{42}} = 2^{0} = 1

Свойства степеней и корней

Забирай полезный файл со всеми свойствами степеней и корней

Забрать в тг

Задание 9

Решите уравнение:

2(x-3) = x+3

Ответ: 9

Решение

2x – 6 = x + 3

2x – x = 3 + 6

x = 9

Задание 10

На рисунке изображено дерево случайного опыта. Найдите вероятность события B.

Ответ: 0,25

Решение

В событие B ведут две ветки дерева: через A и через Ā. Вероятность каждого пути — произведение чисел на его рёбрах, а вероятность события B — сумма этих произведений.

P(B) = P(A)\cdot P(B\mid A) + P(\overline{A})\cdot P(B\mid \overline{A})

P(B) = 0{,}25\cdot 0{,}4 + 0{,}75\cdot 0{,}2 = 0{,}1 + 0{,}15 = 0{,}25

Задание 11

Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают.

1)\; y = -3x^2 + 3x + 1 \qquad 2)\; y = -3x^2 – 3x + 1 \qquad 3)\; y = 3x^2 – 3x – 1

Ответ: 213

Решение

Смотрим на знак коэффициента при x². Если он положительный — ветви вверх, если отрицательный — вниз. В формуле 3) коэффициент 3 > 0, ветви вверх. Такой график только один — В). Значит В — 3.
В формулах 1) и 2) коэффициент −3 < 0, ветви вниз. Различаем их по абсциссе вершины:

x_0 = -\frac{b}{2a}

1)\; x_0 = -\frac{3}{2\cdot(-3)} = 0{,}5 > 0 \qquad 2)\; x_0 = -\frac{-3}{2\cdot(-3)} = -0{,}5 < 0

У графика Б) вершина справа от оси Oy — это формула 1. У графика А) вершина слева от оси Oy — это формула 2.

Задание 12

Сила Архимеда, выталкивающая на поверхность погружённое в воду тело, вычисляется по формуле F = ρgV, где ρ = 1000 кг/м³ — плотность воды, g = 9,8 м/с² — ускорение свободного падения, а V — объём тела в кубических метрах. Сила F измеряется в ньютонах. Найдите силу Архимеда, действующую на погружённое в воду тело объёмом 0,6 куб. м. Ответ дайте в ньютонах.

F = \rho g V

Ответ: 5880

Решение

Подставляем данные в формулу:

F = 1000\cdot 9{,}8\cdot 0{,}6 = 9800\cdot 0{,}6 = 5880\ \text{(Н)}

Задание 13

Укажите решение системы неравенств:

\begin{cases} -10 + 2x > 0, \\ 7 – 6x > -5. \end{cases}

нет решений
(5; +∞)
(2; 5)
(−∞; 2)

Ответ: 1

Решение

Решаем каждое неравенство отдельно.

-10 + 2x > 0 \;\Longrightarrow\; 2x > 10 \;\Longrightarrow\; x > 5

7 – 6x > -5 \;\Longrightarrow\; -6x > -12 \;\Longrightarrow\; x < 2

При делении на отрицательное число знак неравенства меняется. Числа, которые одновременно больше 5 и меньше 2, не существуют — решений нет.

\begin{cases} x > 5 \\ x < 2 \end{cases} \;\Longrightarrow\; \varnothing

Задание 14

Водитель автомобиля начал торможение. За секунду после начала торможения автомобиль проехал 20 м, а за каждую следующую секунду он проезжал на 4 м меньше, чем за предыдущую. Сколько метров автомобиль прошёл за первые 4 секунды торможения?

Ответ: 56

Решение

Пути за каждую секунду образуют арифметическую прогрессию с первым членом 20 и разностью −4:

a_1 = 20,\quad a_2 = 16,\quad a_3 = 12,\quad a_4 = 8

Складываем первые четыре члена:

S_4 = 20 + 16 + 12 + 8 = 56\ \text{(м)}

Тот же результат по формуле суммы:

S_4 = \frac{a_1 + a_4}{2}\cdot 4 = \frac{20 + 8}{2}\cdot 4 = 56

Задание 15

В треугольнике ABC проведена медиана BM. Найдите градусную меру угла A, если ∠C = 65° и BM = AM = MC.

Ответ: 25

Решение

Треугольник ABM равнобедренный (AM = BM), поэтому углы при основании AB равны:

\angle BAM = \angle ABM = \angle A

Треугольник BMC тоже равнобедренный (BM = MC), поэтому:

\angle MBC = \angle C = 65^\circ

Записываем сумму углов треугольника ABC:

\angle A + \left(\angle ABM + \angle MBC\right) + \angle C = 180^\circ

\angle A + \left(\angle A + 65^\circ\right) + 65^\circ = 180^\circ

2\angle A = 50^\circ \;\Longrightarrow\; \angle A = 25^\circ

Задание 16

Синус угла между стороной и диагональю прямоугольника равен 0,28. Диаметр описанной около него окружности равен 25. Найдите площадь прямоугольника.

Ответ: 168

Решение

Диагональ прямоугольника — диаметр описанной окружности, значит диагональ равна 25. Диагональ делит прямоугольник на два прямоугольных треугольника. В таком треугольнике катет, противолежащий данному углу, равен произведению гипотенузы на синус угла: $a = 25\cdot 0{,}28 = 7$

Второй катет (вторую сторону прямоугольника) находим по теореме Пифагора:

b = \sqrt{25^2 – 7^2} = \sqrt{625 – 49} = \sqrt{576} = 24

S = a\cdot b = 7\cdot 24 = 168

Задание 17

В равнобедренной трапеции ABCD угол D равен 56°. Найдите градусную меру угла ACD, если луч AC является биссектрисой угла BAD.

Ответ: 96

Решение

В равнобедренной трапеции углы при основании AD равны:

\angle BAD = \angle ADC = 56^\circ

AC — биссектриса угла BAD, значит она делит его пополам:

\angle CAD = \frac{56^\circ}{2} = 28^\circ

В треугольнике ACD сумма углов равна 180°:

\angle ACD = 180^\circ – \angle CAD – \angle ADC = 180^\circ – 28^\circ – 56^\circ = 96^\circ

Задание 18

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображены две точки. Найдите расстояние между ними.

Ответ: 5

Решение

Достраиваем прямоугольный треугольник: по клеткам одна точка смещена относительно другой на 4 клетки по горизонтали и на 3 клетки по вертикали. Расстояние — гипотенуза:

d = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5

Задание 19

Какое из следующих утверждений является истинным высказыванием?

Если три угла одного треугольника равны трём углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.
Диагонали ромба равны.
Тангенс любого острого угла меньше единицы.

Ответ: 1

Пояснение

Истинно. Достаточно даже равенства двух углов (первый признак подобия), а здесь равны все три.
Ложно. Равны диагонали прямоугольника, а у ромба они перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам, но в общем случае не равны (равны только у квадрата).
Ложно. Контрпример: $\tan 60^\circ = \sqrt{3} \approx 1{,}73 > 1$

Задание 20

Найдите все корни уравнения:

x^3 = 4x^2 – x

Ответ: 0; 2 − √3; 2 + √3

Решение

Переносим всё в левую часть и выносим общий множитель:

x^3 – 4x^2 + x = 0

x\left(x^2 – 4x + 1\right) = 0

Произведение равно нулю, когда хотя бы один множитель равен нулю.

x_1 = 0

Решаем квадратное уравнение $x² − 4x + 1 = 0:$

D = (-4)^2 – 4\cdot 1\cdot 1 = 16 – 4 = 12

x = \frac{4 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{3}}{2} = 2 \pm \sqrt{3}

Задание 21

Свежие фрукты содержат 87 % воды, а высушенные — 22 %. Сколько требуется свежих фруктов для приготовления 49 кг высушенных фруктов?

Ответ: 294 кг

Решение

При сушке испаряется только вода, а масса сухого вещества не меняется. Считаем именно сухое вещество.

В свежих фруктах сухого вещества 100 − 87 = 13 %, в высушенных 100 − 22 = 78 %.
Сухое вещество в 49 кг высушенных фруктов:

49\cdot 0{,}78 = 38{,}22\ \text{(кг)}

Пусть требуется x кг свежих фруктов. Тогда:

0{,}13x = 38{,}22 \;\Longrightarrow\; x = \frac{38{,}22}{0{,}13} = 294\ \text{(кг)}

Задание 22

Постройте график функции

y = x|x| + |x| – 6x

Определите, при каких значениях $m$ прямая $y = m$ имеет с графиком ровно две общие точки.

Ответ: m = −6,25 и m = 12,25

Решение

Раскрываем модуль по определению — получаем кусочно-заданную функцию.

При x ≥ 0: |x| = x, поэтому y = x·x + x − 6x = x² − 5x.
При x < 0: |x| = −x, поэтому y = −x² − x − 6x = −x² − 7x.

y = \begin{cases} x^2 – 5x, & x \ge 0, \\ -x^2 – 7x, & x < 0. \end{cases}

Первая ветвь — часть параболы ветвями вверх при x ≥ 0. Её вершина:

x_0 = \frac{5}{2} = 2{,}5,\qquad y_0 = 2{,}5^2 – 5\cdot 2{,}5 = -6{,}25

Вторая ветвь — часть параболы ветвями вниз при x < 0. Её вершина:

x_0 = -\frac{7}{2} = -3{,}5,\qquad y_0 = -(-3{,}5)^2 – 7\cdot(-3{,}5) = 12{,}25

Обе ветви проходят через начало координат: при x = 0 значение y = 0, а вторая ветвь пересекает ось Ox ещё и в точке x = −7. График непрерывен.

Теперь считаем, сколько точек пересечения даёт горизонтальная прямая y = m:

m > 12,25 — прямая проходит выше вершины левой ветви: 1 точка (только на правой ветви);
m = 12,25 — прямая касается вершины левой ветви: 1 + 1 = 2 точки;
−6,25 < m < 12,25 — 3 точки;
m = −6,25 — прямая проходит через вершину правой ветви: 1 + 1 = 2 точки;
m < −6,25 — 1 точка (только на левой ветви).

Ровно две общие точки получаются в двух случаях — когда прямая проходит через вершину одной из ветвей.

m = -6{,}25 \quad \text{или} \quad m = 12{,}25

Задание 23

Биссектриса угла A параллелограмма ABCD пересекает сторону BC в точке K. Найдите периметр параллелограмма, если BK = 3, CK = 19.

Ответ: 50

Решение

BC ∥ AD, значит углы KAD и AKB — накрест лежащие при секущей AK, они равны.

\angle AKB = \angle KAD

AK — биссектриса угла A, поэтому ∠KAD = ∠BAK. Отсюда:

\angle AKB = \angle BAK

Значит треугольник ABK равнобедренный, и AB = BK = 3.

BC = BK + KC = 3 + 19 = 22

P = 2\left(AB + BC\right) = 2\left(3 + 22\right) = 50

Задание 24

В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AA₁ и CC₁. Докажите, что углы AA₁C₁ и ACC₁ равны.

Решение

AA₁ — высота, значит AA₁ ⊥ BC, и угол AA₁C прямой. CC₁ — высота, значит CC₁ ⊥ AB, и угол AC₁C прямой.

\angle AA_1C = \angle AC_1C = 90^\circ

Точки A₁ и C₁ видят отрезок AC под прямым углом, значит обе лежат на окружности с диаметром AC (по обратной теореме об угле, опирающемся на диаметр).

Итак, точки A, C₁, A₁, C лежат на одной окружности.

Углы AA₁C₁ и ACC₁ — вписанные в эту окружность и опираются на одну и ту же дугу AC₁ (причём вершины A₁ и C лежат по одну сторону от хорды AC₁). Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны.

\angle AA_1C_1 = \angle ACC_1

Что и требовалось доказать.

Задание 25

В трапеции ABCD боковая сторона AB перпендикулярна основанию BC. Окружность проходит через точки C и D и касается прямой AB в точке E. Найдите расстояние от точки E до прямой CD, если AD = 12, BC = 10.

Ответ: 2√30 ≈ 10,95

Решение