Формулы сокращённого умножения нужно понимать, а не зубрить. Можно назвать формулу наизусть и всё равно растеряться, если в задаче цифры расставлены чуть по-другому. Во время подготовки к ЕГЭ по математике эту тему разбирают одной из первых не просто так, так как на ней завязана практически половина того, что будет дальше в алгебре.
Дальше разберём, что это за формулы, откуда они берутся, где чаще всего ошибаются и как их не путать на экзамене.
Что такое формулы сокращённого умножения
Формулы сокращённого умножения — это готовые тождества, которые позволяют быстро раскрывать скобки или, наоборот, сворачивать многочлен в произведение. Они выводятся из обычного умножения многочленов, просто фиксируют часто повторяющийся результат.
Пригодятся они и в физике при упрощении формул, в программировании при оптимизации вычислений, да и просто при устном счёте, например, вычислить 102² намного проще через (100+2)², чем умножать столбиком.
Основные формулы
Квадрат суммы (a + b)² = a² + 2ab + b²
Квадрат разности (a − b)² = a² − 2ab + b²
Разность квадратов a² − b² = (a − b)(a + b)
Проверим на примере (x + 3)² = x² + 6x + 9. Раскрываем по формуле, коэффициент при x равен удвоенному произведению, то есть 2 · 1 · 3 = 6, всё сходится.
Для запоминания удобно держать в голове схему «квадрат первого, плюс-минус удвоенное произведение, плюс квадрат второго», она универсальна для обеих формул суммы и разности.
Расширенный набор формул
Помимо базовой тройки, в старших классах добавляются:
Куб суммы (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³
Куб разности (a − b)³ = a³ − 3a²b + 3ab² − b³
Сумма кубов a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²)
Разность кубов a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²)
Как применять формулы для разложения многочленов
Сначала смотрим, сколько слагаемых в выражении и есть ли квадраты или кубы. Два слагаемых с минусом между квадратами это разность квадратов. Трёхчлен с квадратами и удвоенным произведением — квадрат суммы или разности. Если встречаются оба признака сразу, формулы применяют последовательно, а не одновременно.
Пример. Разложить x⁴ − 16. Это разность квадратов: (x² − 4)(x² + 4). Но x² − 4 сама раскладывается дальше, снова разность квадратов: (x − 2)(x + 2)(x² + 4). Такая многоступенчатая разбивка часто встречается в заданиях ЕГЭ.
Типичные ошибки
Самая частая ошибка это потеря знака при квадрате разности. (a − b)² путают с a² − b², забывая про удвоенное произведение. Вторая ошибка — это неверное раскрытие скобок при кубе суммы. Коэффициенты 3a²b и 3ab² легко перепутать местами или забыть один из них. Третья — это попытка «сократить» a² + b² как будто это тоже формула. Сумма квадратов на множители в действительных числах не раскладывается, и это стоит запомнить отдельно.
Мнемонические приёмы
Для квадрата суммы и разности хорошо работает проговаривание вслух: «квадрат — удвоенное — квадрат» — эта фраза сразу подсказывает структуру из трёх слагаемых и не даёт забыть средний член. Для кубов помогает связка с треугольником Паскаля — треугольной таблицей чисел, где каждая строка начинается и заканчивается единицей, а каждое число внутри неё равно сумме двух чисел над ним из предыдущей строки:
Степень 0: 1
Степень 1: 1 1
Степень 2: 1 2 1
Степень 3: 1 3 3 1
Степень 4: 1 4 6 4 1
Строка под номером n этого треугольника даёт коэффициенты при раскрытии (a + b)ⁿ, поэтому для куба суммы нужна третья строка — 1, 3, 3, 1, — которая и даёт коэффициенты перед a³, a²b, ab² и b³ в формуле (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³. Такую таблицу легко восстановить на черновике за несколько секунд, просто складывая соседние числа предыдущей строки, поэтому запоминать коэффициенты отдельно не нужно.
Разность и сумму кубов проще всего запомнить через противоположность знаков: «в скобке минус — внутри плюс», «в скобке плюс — внутри минус».
Сравнительная таблица
| Формула | Запись | Когда применять |
| Квадрат суммы | (a+b)² = a²+2ab+b² | Раскрытие скобок |
| Квадрат разности | (a−b)² = a²−2ab+b² | Раскрытие скобок |
| Разность квадратов | a²−b² = (a−b)(a+b) | Разложение на множители |
| Сумма кубов | a³+b³ = (a+b)(a²−ab+b²) | Разложение на множители |
| Разность кубов | a³−b³ = (a−b)(a²+ab+b²) | Разложение на множители |
Формулы сокращённого умножения — это база, без которой сложно двигаться дальше в алгебре. Они встречаются в уравнениях, неравенствах и даже в геометрии. Регулярная практика на разных типах задач закрепляет их куда надёжнее, чем заучивание. Если хотите закрыть эту и другие темы, то вам точно поможет курс подготовки к ЕГЭ по математике.
Часто задаваемые вопросы
Можно ли использовать формулы сокращённого умножения для чисел с дробными коэффициентами?
Да, формула сокращённого умножения чисел работает независимо от того, целые коэффициенты или дробные, главное правильно подставить значения a и b в готовое тождество.
Какой порядок применения формул сокращённого умножения при решении задач?
Сначала определяют структуру выражения, а именно количество слагаемых и наличие квадратов или кубов, затем решают, как сократить, используя формулы сокращённого умножения, начиная с самого очевидного признака.
Как выбрать подходящую формулу сокращённого умножения для конкретной задачи?
Нужно разложить на множители формулы сокращённого умножения по внешнему виду выражения. Два слагаемых с разностью квадратов — одна схема, трёхчлен с удвоенным произведением — другая.
Какие формулы сокращённого умножения используются для разности квадратов?
Формула одна a² − b² = (a − b)(a + b). Если нужно вычислить, используя формулы сокращённого умножения, конкретное числовое выражение, например, 51² − 49², результат находится в пару действий вместо длинных вычислений.
Почему важно правильно запомнить формулы сокращённого умножения?
Тема формулы сокращённого умножения встречается практически в каждом разделе школьной алгебры от простых уравнений до сложных задач второй части ЕГЭ, поэтому ошибка в формуле автоматически ведёт к ошибке во всём решении.
