Ответы на ЕГЭ по математике 2025 (27 мая)

Задание 2

Даны векторы a(7; −3) и b(5; 12). Найдите скалярное произведение векторов a и b.

a * b = -13 * (-6) + 4 * 1= 82

Длины векторов a и b равны 5 и 7, а угол между ними — 60°. Найдите скалярное произведение a и b.

a * b = 5 * 7 * cos 60 = 17,5

На координатной плоскости изображены векторы a и b, координатами которых являются целые числа. Найдите скалярное произведение a и b.

Получилось: a (5;4), b (6;1)

a * b = 5 * 6 +4 * 1 = 34

Задание 3

Около конуса описана сфера, то есть сфера содержит окружность основания конуса и его вершину. Центр основания конуса совпадает с центром сферы, а ее радиус равен 10√2. Найдите образующую конуса.

Рассмотрим треугольник   где точка  — центр сферы, точка  принадлежит окружности основания конуса, точка  — вершина конуса. Тогда  — это образующая конуса.

Так как центр сферы совпадает с центром основания конуса, то  — высота конуса и  Кроме того,  и  — радиусы сферы. Тогда для треугольника  по теореме Пифагора имеем:

Ответ: 20

Задание 4

Научная конференция проводится в 4 дня. Всего запланировано 80 докладов  — первые два дня по 12 докладов, остальные распределены поровну между третьим и четвертым днями. Порядок докладов определяется жеребьёвкой. Какова вероятность, что доклад профессора М. окажется запланированным на последний день конференции?

1 день — 12
2 день — 12
3 день — 28
4 день — 28
Р = 28 / 80 = 7 * 5 / 20 * 5= 35 / 100 = 0,35

Научная конференция проводится в 5 дней. Всего запланировано 75 докладов: первые три дня по 11 докладов, остальные распределены поровну между четвёртым и пятым днями. На конференции планируется доклад профессора М. Порядок докладов определяется жеребьёвкой. Какова вероятность того, что доклад профессора М. окажется запланированным на последний день конференции?

На олимпиаде по русскому языку 350 участников разместили в трёх аудиториях. В первых двух удалось разместить по 140 человек, оставшихся перевели в запасную аудиторию в другом корпусе. Найдите вероятность того, что случайно выбранный участник писал олимпиаду в запасной аудитории.

1 день — 140
2 день — 140
3 день — 70
Р = 70 / 350 = 1 * 2 / 5 * 2 = 2 / 10 = 0,2

Задание 5

В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится кофе, равна 0,1. Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах, равна 0,03. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в обоих автоматах.

1 – 0,03 – 0,07 – 0,07 = 0,83

В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится кофе, равна 0,3. Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах, равна 0,12. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в обоих автоматах.

Задание 6

Задание 7

Задание 8

Задание 9

Задание 10

От пристани A к пристани B, расстояние между которыми равно 153 км, отправился с постоянной скоростью первый теплоход, а через 8 часов после этого следом за ним со скоростью на 8 км/ч большей отправился второй. Найдите скорость первого теплохода, если в пункт B оба теплохода прибыли одновременно. Ответ дайте в км/ч.

Составим таблицу:

	U, км/ч	t, ч	S, км
1	U		153
2	U+8		153

 Поскольку значение должно быть положительно, ответ 9.

Ответ: 9

Задание 11

Задание 12

Найдите наибольшее значение функции y = x³ – 6x² + 9x +5

y`= (x³–6x²+9x+5)`=3x²–12x+9
y`=0
3x²–12x+9=0;
x²–4x+3=0
D=(–4)²–4•3=16–12=4;
x=(4–2)/2=1 или х=(4+2)/2=3
х=1 — внутренняя точка отрезка [0;3].
Исследуем знак производной на отрезке.
на [0;1] производная имеет знак +; на [1;3] – минус.
Значит х = 1 – точка максимума функции, так как производная при переходе через точку х=1 меняет знак с + на –.
y(1)=1–6+9+5=9 – наибольшее значение функции на отрезке [0;3].

Ответ: 1

ПРОФИЛЬ. ВТОРАЯ ЧАСТЬ

Задание 13

Задание 14

В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 отметили точки M и K на ребрах AA1 и A1B1 соответственно. Известно, что AM = 5MA1, A1K = KB1. Через точки M и K провели плоскость α перпендикулярно грани ABB1A1.
а) Докажите, что плоскость α проходит через вершину C1.
б) Найдите площадь сечения призмы ABCA1B1C1 плоскостью α, если все ребра призмы равны 12.

Задание 15

Задание 16

В июле планируется взять кредит в банке на сумму 14 млн рублей на некоторое целое число лет. Условия его возврата таковы:
– каждый январь долг возрастает на 25% по сравнению с концом предыдущего года;
– с февраля по июнь каждого года необходимо выплачивать часть долга;
– в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года.

На сколько лет взят кредит, если известно, что общая сумма выплат после его погашения равнялась 24,5 млн рублей?

.Ответ: 5

Задание 17

Задание 18

Задание 19

БАЗА