Задание 15

Это задание связано с логическими выражениями и отрезками на числовой прямой и требует умения анализировать условия, представлять их в виде логических формул.

В задании 15 обычно дано логическое выражение, зависящее от переменных (чаще всего, отрезков на числовой прямой) и параметров (например, переменной "А"). Твоя задача – найти значения параметров, при которых логическое выражение истинно (или ложно) для всех или для заданных значений переменных.

Для начала давай вспомним теорию, которая пригодится тебе при решении задачи.

Основы логики

Связь логических операций с теорией множеств

 Предположим, что А – множество учеников школы, сдающих ЕГЭ по информатике, В — множество учеников той же школы, которые сдают ЕГЭ по физике. Это можно изобразить при помощи диаграммы Эйлера-Венна (два пересекающихся множества) 

Логическое И (конъюнкция) соответствует пересечению множеств 

Логическое ИЛИ (дизъюнкция) соответствует объединению множеств

Пересечение множеств соответствует умножению логических переменных, а объединение множеств – логическому сложению.

Универсальное множество (обозначается I) – это множество, содержащее все возможные элементы заданного типа (соответствует логической 1). 

Пустое множество (обозначается Ø) – это множество, не содержащее ни одного элемента (соответствует логическому 0). 

Дополнение множества Х (обозначается ¬Х) – это разность между универсальным множеством I и множеством Х

Пусть требуется выбрать множество А так, чтобы выполнялось равенство А + Х = 1 (I), тогда множество А должно перекрывать дополнение множества Х (¬Х), то есть Аmin = ¬Х 

Пусть требуется выбрать множество А так, чтобы выполнялось равенство ¬А + Х = 1 (I), тогда множество ¬А должно перекрыть дополнение множества Х (¬Х), то есть Аmax = Х

Ручной алгоритм решения задания 15 на отрезки

• Переписываем выражение в удобном виде (обязательно проверяем несколько раз) 
• Упрощаем его при необходимости 
• Приравниваем к 1 или 0 в зависимости от условия задачи 
• Разделяем выражение на «известную» и «неизвестную» части 
• Рисуем числовую прямую 
• Отмечаем ту часть числовой прямой, где «известная» часть ложна, если все выражение истинно (или истинна, если все выражение ложно) 
• При помощи неизвестной части «перекрываем» это место на числовой прямой 
• Помним о разнице между длиной отрезка и количеством точек

Решение в Python

Ту же задачу можно решить с помощью программы. Смотри ниже пример решения:

На числовой прямой даны два отрезка: P = [20, 50] и Q = [30, 40]. Найдите наименьшую возможную длину отрезка A, при котором формула ¬(x ∈ A) ⋀ ((x ∈ P) ∨ (x ∈ Q)) тождественно ложна, то есть принимает значение 0 при любом значении переменной х.

В статье мы разобрали всю теорию, которая понадобится при решении этой задачи из ЕГЭ по информатике. Много практикуйся, тогда тебя точно ждет успех 👏